专题03 离心率范围(最值)模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题03　离心率范围(最值)模型 解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解． 【例题选讲】 [例8]　(41)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 答案　B　解析　将x＝c代入－＝1得y＝±，不妨取A，B，所以|AB|＝．将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，不妨取C，D，所以|CD|＝．因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥，故选B． (42)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 答案　C　解析　如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形， ∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵点P到直线l∶4x＋3y＝0的距离不小于，∴≥，解得b≥2．∴c≤＝，∴0<≤．∴椭圆E的离心率范围是．故选C． (43)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞)　　　B．(0，－1)　　　C．(－1，1)　　　D．(－1，＋1) 答案　C　解析　由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以＋＝1，从而可得y＝±，不妨令A，B．由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，所以tan ∠AF1F2<1，所以tan∠AF1F2＝＝<1，故<1，即e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1，又因为椭圆中，0<e<1，所以－1<e<1．故选C． (44)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 答案　A　解析　F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，可得2c＝2，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，可得×2×>，可得m2－4m＋3<0，解得m∈(1，3)，则椭圆C的离心率为：e＝∈． (45)已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　． 思路点拨　在△PF1F2中，使用正弦定理建立|PF1|，|PF2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF2|，利用a－c<|PF2|<a＋c建立不等式确定所求范围． 答案　(－1，1)　解析　根据已知条件∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0，即点P不会是椭圆的左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形，在△PF1F2中，由正弦定理得＝，则由已知，得＝，即|PF1|＝|PF2|，①．根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，②．由①②解得，|PF2|＝＝，因为a－c<|PF2|<a＋c，所以a－c<< a＋c，即b2<2a2<a2＋2ac＋c2，所以c2＋2ac－a2>0，即e2＋2e－1>0，解得e<－－1或e>－1，又e∈(0，1)，故椭圆的离心率e∈(－1，1)． (46)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________． 答案　2　解析　因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且＝3，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2． (47)已知双曲线方程为－＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1，]　　　　　　B．[，