专题02 建立f(a，b，c)＝0模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题02　建立f(a，b，c)＝0模型 1．f(a，b，c)＝0型(明显) 所谓明显型就是题目中有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解． 【例题选讲】 [例6]　(27)(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意＝b，且a2＝b2＋c2，得b2c2＝b2a2，所以e＝＝． (28)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D. (29)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 答案　C　解析　由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝．故选C． (30) (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 答案　　解析　由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴＝c＋a，－，＝c－a，－，由∠BFC＝90°，可得·＝0，所以＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝． (31)已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．＋1　　　　　D．＋1 答案　C　解析　由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为－，可得直线l的方程为y－＝，令y＝0，可得x＝a－，由题意可得－c＝a－，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由e＝，可得e2－2e－2＝0，解得e＝1＋(e＝1－舍去)，故选C． (32)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即＋5c2＝2a2，整理得＝，∴椭圆的离心率e＝＝． 【对点训练】 23．P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭 圆的离心率e为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 24．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两 个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 25．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率 为(　　) A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D． 26．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的