专题01 五组秒杀公式模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题01　五组秒杀公式模型 第Ⅰ组秒杀公式 (1)e椭圆＝＝； (2)e双曲线＝＝＝＝ (其中α与k为渐近线的倾斜角与斜率) [例1]　(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或2 答案　D　解析　秒杀　∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为．∴e＝＝．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为．∴e＝＝2．故选D． 通法　∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴＝tan 30°＝或＝tan 60°＝．由＝，得＝＝e2－1＝，∴e＝(舍负)；由＝，得＝＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D． (2)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为(　　) A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2 答案　C　解析　秒杀　∵渐近线的斜率为±．∴e＝＝2． 通法　由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝2，故选． (3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　) A．2sin 40°　　　　　　　　B．2cos 40°　　　　　　　　C.　　　　　　　　D. 答案　D　解析　秒杀　由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝．故选D． (4)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　A　解析　秒杀　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝．故选A． (5) (2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． 答案　2　解析　秒杀　由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为．∴e＝＝2． 通法一：由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为．∵点B在直线y＝－x上，∴＝，∴离心率e＝＝2． 　　　　　　　　 通法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵＝，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2． 【对点训练】 1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐 近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D． 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 3．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一 条渐近线上，则双曲线C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D． 4．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A， 且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D． 5．(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线 分别交于点A和点B，且|A