考向13 平面向量的数量积及应用-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向13 平面向量的数量积及应用 一、单选题 1．（2020·山东高考真题）已知点 ， ，点 在函数 图象的对称轴上，若 ，则点 的坐标是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】由二次函数对称轴设出 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数 图象的对称轴是 ，设 ， 因为 ，所以 ，解得 或 ，所以 或 ， 故选：C． 2．（2021·山东高考真题）已知向量 ， ，那么 等于（ ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案. 【详解】 ， ， . 故选：A. 二、双空题 3．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________． 【答案】1 【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出最值. 【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 为边长为 的等边三角形， ， ， ， ， 所以当 时， 的最小值为 . 故答案为：1； . 三、填空题 4．（2019·上海高考真题）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为____________ 【答案】 【分析】通过坐标表示和 得到 ；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为： ；利用 的范围得到 的范围，从而得到角的范围. 【详解】由题意： ， 设 ， ，因为 ，则 与 结合 ，又 与 结合，消去 ，可得： 所以 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解. 5．（2021·湖南高考真题）已知向量 ， ，则 ___________ 【答案】 【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】 ，所以 . 故答案为： 1.计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法 利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 3、 平面向量的数量积及其应用 1.两个向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉. ＝a， (2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉. (3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图)，作叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. ＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ. 3.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝). ＋y＝ ③夹角：cos θ＝)). ＋y)·\r(x＋y＝ ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ). ＋y)·＋y 4.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 一、单选题 1．（2020·上海奉贤区·高三一模）设 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个法向量，设向量 与向量 的夹角为 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程确定直线 的方向向量 ，以及直线 的法向量 ，利用向量夹角公式求解. 【详解】由题意， 是直线 的一个方向向量，则 ， 是直线 的一个法向量， ， 则 ，故 ，故选：C. 2．（2020·上海虹口区·高三一模）在 EMBED Equation.DSMT4 中，若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的形状一定是（