2.2不等式的性质及解不等式（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第二章 等式与不等式 2.2 不等式的性质及解不等式 知识梳理.不等式的性质 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对． (2)符号表示：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 【例】(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小． 【答案】见解析 【解析】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. 当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1. (2)因为a≥1， 所以M＝－>0，N＝－>0. 所以＝＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N.　 2．不等式的性质 性质1：（可加性）如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2：（可乘性）如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3：（可乘性）如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c. 性质5：（对称性）a＞bb＜a. 推论1：如果a＋b>c，则a>c－b.(不等式的移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.（同向同正可乘性） 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．（可乘方性） 推论5：如果a>b>0，那么>.（可开方性） 【例】对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． 【答案】②③. 【解析】①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确． ②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确． ③中，⇒a2>ab，⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③. 3.不等式的证明方法 （1）作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小． （2）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． （3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． （4）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 【例】若c>a>b>0，求证：>. 【答案】见解析 【解析】证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为c>a，所以c－a>0.所以0<c－a<c－b. 上式两边同乘，得>>0. 又因为a>b>0，所以>. 题型一.不等式的性质 考点1.对不等式性质的理解 1．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b； ③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则； ⑤若a＞b，，则a＞0，b＞0其中真命题为（填写序号）　②③④　． 【答案】②③④ 【解析】解：对于①，若a＞b，则ac与bc大小关系不定，故①是假命题； 对于②，若ac2＞bc2，则a＞b，故②是真命题； 对于③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2，故③是真命题； 对于④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，⇒⇒则，故④是真命题； 对于⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0，故⑤是假命题； 故答案为：②③④ 2．若a，b，c为实数，下列结论正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则 C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2 【答案】D． 【解析】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则不正确， 对于B：若a＜b＜0，则a2＞b2，则 ，即，故B不正确， 对于C：若a＜b＜0，则，即，故C不正确， 对于D：若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2，正确， 故选：D． 3．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（　　） A．和均不能成立 B．和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B． 【解析】解：不妨令a＝﹣3，b＝﹣1代入检验各个选项，A不正确，B正确，C不正确， D不正确， 故选：B． 考点2.利用不等式的性质求取值范围 1．已知﹣5＜x＜4，2＜y＜3．求： （1）x﹣2y的取值范围； （2）3x+2y的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（1）﹣5＜x＜4，2＜y＜3， 可得﹣6＜﹣2y＜﹣4， 所以﹣11