5 第1章 特殊平行四边形 追梦综合演练卷-【追梦之旅·铺路卷】2021-2022学年九年级上册数学（北师大版）

AD= 1. ∵ △ABE 沿 BE 折叠得到△A′BE,∴ A′E =AE,A′B =AB = 1, ∴ A′N= A′B2 -BN2 = 0,即点 A′与点 N 重合,点 E 与点M 重合,∴ AE= 1;②过 A′作 PQ∥AD 交 AB 于点 P,交 CD 于点 Q,则直线 PQ 是矩形 ABCD 的对称轴,∴ PQ⊥AB,AP =PB,AD∥PQ∥BC,∴ A′B = 2PB. 过 A′作 GH 垂直于 AD,BC 于点 G、H,则 A′H =PB = 1 2 ,四边 形 AGHB 是矩形. ∴ 在 Rt△A′BH 中,A′B =AB = 1,∴ BH = 3 2 ,AG = BH= 3 2 . 设 AE=AE′= x,则 EG = AG-AE = 3 2 -x,在 Rt△A′GE 中, ( 3 2 -x) 2 + 1 4 =x2,解得 x = 3 3 ,∴ AE =A′E = 3 3 ;综上所述:AE 的 长为 1 或 3 3 . 11. 证明:∵ 在四边形 ABCD 中,AB = CD,AD = BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC= 2AO,BD= 2OD. ∵ OA =OD,∴ AC =BD,∴ 四边形 ABCD 是矩形. 12. D　 13. A 14. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = AD,∠BAD= ∠B = ∠D = 90°,在 Rt△ABE 和 Rt △ADF 中, AE=AFAB=AD{ , ∴ Rt △ABE ≌ Rt △ADF (HL),∴ ∠1 = ∠2. ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠1 = ∠2 = ∠22. 5°,所以①正确;连接 EF、AC,它们相交 于点 H,如图. ∵ Rt△ABE≌Rt△ADF,∴ BE = DF,∵ BC = DC,∴ CE=CF. ∵ AE=AF,∴ AC 垂直平分 EF,AH 平分∠EAF,∴ EB = EH,FD=FH,∴ BE+DF=EH+HF =EF,所以④错误;∴ △ECF 的 周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF =CB+CD = 1+1 = 2,所以③ 正确;设 BE= x,则 EF= 2x,CE= 1-x. ∵ △CEF 为等腰直角三角 形,∴ EF= 2CE,即 2x = 2 (1-x),解得 x = 2 -1. ∴ BE = 2 - 1,Rt△ECF 中,EH=FH,∴ CH= 1 2 EF=EH=BE= 2 -1. ∵ CH⊥ EF,∴ 点 C 到 EF 的距离是 2 - 1,所以②正确;本题正确的有: ①②③;故选 B. 15. 25 16. 证明:如图,∵ ABCD 为正方形,∴ DC =CB,∠DCB = 90°,∠DCF = ∠BCF = 45°, 在 △DFC 与 △BFC 中, DC=CB ∠DCF= ∠BCF CF=CF{ , ∴ △DFC ≌ △BFC (SAS),∴ ∠1 = ∠6. ∵ BH 为中线,∴ BH = GH,∴ ∠3 = ∠4. ∵ ∠4 = ∠5,∠5+∠6 = 90°,∴ ∠1+∠3 = 90°,即 BF⊥BH. 17. B　 18. A 19. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD = AB = 4,AB∥CD. ∵ ∠BAD= 120°,∴ ∠ADB = ∠CDB = 30°. ∵ O 是对角线 BD 的中 点,∴ AO⊥BD,在 Rt△AOD 中,AO = 1 2 AD = 2,OD = 2 3 . ∵ OE ⊥CD,∴ ∠DEO= 90°. 在 Rt△DOE 中,OE = 1 2 OD = 3 ,DE = 3, ∴ 四边形 AOED 的周长= 4+2+ 3 +3 = 9+ 3 . 故选 B. 20. C　 【解析】∵ 正方形 ABCD 的边长为 12,∴ AB = CD = AD = BC = 12,AD∥EC. ∵ BE = DF = 5,∴ AF = CE = 7,∴ 四边形 AFCE 是平 行四边形. ∵ AB = 12,BE = 5,∴ AE = AB2 +BE2 = 144+25 = 13. ∵ S▱AFCE =AF×AB=AE×GH,∴ 7×12 = 13×GH,∴ GH = 84 13 . 故 选 C. 21. 3 -1　 【解析】过 P 作 PE⊥CD 于点 E,PF⊥BC 点 F. ∵ 正方形 ABCD 的边长是 2,△BPC 为正三角形,∴ ∠PBC = ∠PCB = 60°, PB =PC =BC =CD = 2,∴ ∠PCE = 30°,∴ PF = 3 ,PE = 1,S阴影 = S四边形PBCD -S△BCD = S△PBC +S△PDC -S△BCD = 1 2 ×2× 3 + 1 2 ×1