4 第1章特殊平行四边形章节知识回顾与提升-【追梦之旅·铺路卷】2021-2022学年九年级上册数学（北师大版）

在 △ABP 和 △CBP 中, AB=BC ∠ABP= ∠CBP PB=PB{ , ∴ △ABP ≌ △CBP,∴ PA=PC. ∵ PA=PE,∴ PC=PE. (2) 解: 由 ( 1) 知, △ABP ≌ △CBP, ∴ ∠BAP = ∠BCP, ∴ ∠DAP= ∠DCP. ∵ PA = PE,∴ ∠DAP = ∠E. ∴ ∠DCP = ∠E. ∵ ∠CFP = ∠EFD(对顶角相等),∴ 180°-∠PFC- ∠PCF= 180°-∠DFE-∠E,即∠CPE= ∠EDF= 90°. (3)解:AP=CE;理由如下:在菱形 ABCD 中,AB =BC,∠ABP = ∠CBP= 60°,在△ABP 和△CBP 中, AB=BC ∠ABP= ∠CBP PB=PB{ , ∴ △ABP≌△CBP( SAS),∴ PA = PC,∠BAP = ∠BCP. ∴ ∠DAP = ∠DCP. ∵ PA = PE, ∴ PC = PE, ∴ ∠DAP = ∠AEP,∴ ∠DCP= ∠AEP. ∵ ∠CFP = ∠EFD(对顶角相 等),∴ 180° -∠PFC-∠PCF = 180° -∠DFE- ∠AEP,即 ∠CPF= ∠EDF = 180° - ∠ADC = 180° - 120° = 60°, ∴ △EPC 是等边三角形,∴ PC=CE,∴ AP=CE. 21. 解:(1)四边形 APQD 是平行四边形. (2)OA⊥OP,OA = OP,理由是:∵ 四边形 ABCD 为正方 形,∴ ∠ABO = ∠OBC = 45°. ∵ OQ⊥BD,∴ ∠BOQ = 90°,∴ ∠OQB = 45°,∴ OB = OQ. 在△ABO 和△PQO 中, AB=PQ ∠ABO= ∠OQB OB=OQ{ , ∴ △ABO≌ △PQO ( SAS), ∴ OA=OP,∠AOB = ∠POQ. ∵ ∠BOQ = ∠BOP+∠POQ = 90°,∴ ∠BOP+∠AOB= ∠AOP= 90°,∴ OA⊥OP. 22. 解:(1)证明:作 EP⊥CD 于点 P,EQ⊥BC 于点 Q,则∠QEP = 90°. ∵ ∠DCA = ∠BCA, ∴ EQ = EP. ∵ ∠QEF + ∠FEP = 90°, ∠PED + ∠FEP = 90°, ∴ ∠QEF = ∠PED, 在 Rt △EQF 和 Rt △EPD 中, ∠QEF= ∠PED EQ=EP ∠EQF= ∠EPD{ ,∴ Rt△EQF≌Rt△EPD( ASA),∴ EF=ED,∴ 矩形 DEFG 是正方形. (2)如图 2 中,在 Rt△ABC 中,AC = (2 2 ) 2 +(2 2 ) 2 = 4. ∵ EC= 2,∴ AE =CE,∴ 点 F 与 C 重合,此时△DCG 是等腰直角三角形,∴ CG=DE= 2. 　 　 (3) ∠EFC 的度数为 40°或 130° 　 【解析】①如图 3,当 DE 与 AD 的夹角为 40°时,∠DEC = 45° + 40° = 85°. ∵ ∠DEF = 90°, ∴ ∠CEF = 5°. ∵ ∠ECF = 45°, ∴ ∠EFC= 130°. ②如图 4,当 DE 与 DC 的夹角为 40° 时. ∵ ∠DEF= ∠DCF= 90°,∴ ∠EFC = ∠EDC = 40°, 综上所述,∠EFC= 130°或 40°. 23. 解:(1) 2 2 (2)CE-BP= 2 2 BD;理由:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A =∠ADC=∠BCD=∠DCE= 90°,AD=CD. ∵ DE⊥PD,∴ ∠ADC=∠PDE=90°,∴ ∠ADP=90°-∠PDC=∠CDE,在 △PAD 与 △ECD 中, ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADP=∠CDE{ , ∴ △PAD ≌ △ECD. ∴ AP=CE,∵ AB2 +AD2 =BD2,即 2AB2 =BD2,∴ AB= 2 2 BD,∴ CE-BP=AP-BP=AB= 2 2 BD. (3)PD 的长为 3+ 3 或 1+ 3 . 　 【解析】①当 P 在线段 AB 上时,如图 1 所示,在 BC 上取一点 G 使得 BG = BP,连接 MG、NG. 同(2)得,△APD≌△CED. ∴ AP = CE,PD=ED,∴ △PED 是等腰直角三角形,∴ AB=BC =AP + BP = BG + CG, ∴ CG = CE, ∴ 可证 △NCG ≌ △NCE,∴ NG = NE, ∠NGC = ∠NEC. ∵ ∠PBM = ∠GBM= 45°,BP=BG,BM =BM,∴ △BPM≌△BGM. ∴ PM= GM,∠MGB = ∠MPB. 又∵ ∠NEC+ ∠MPB = 90°,∴ ∠NGC+∠MGB= 9