考向12 平面向量的概念及线性运算-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向12 平面向量的概念及线性运算 一、单选题 1．（2021·山东高考真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么 能够表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意， ． 故选：B 2．（2020·海南高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 二、填空题 3．（2021·全国高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ， 解方程可得： . 故答案为： . 1.向量线性运算的三要素 向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论 (1)O为△ABC的重心的充要条件是＝0；＋＋ (2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则；＝2＋ (3)对于平面上的任一点O，(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.＋y＝x不共线，满足， 注意向量共线与三点共线的区别. 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a， 零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0 单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝ 共线(平 行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作 a∥b 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a 相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1， ，则 （ ）. A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法以及向量的模即可求解. 【详解】因为 ，所以 . 因为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：D. 【点睛】本题考查了向量的加法以及求向量的模，属于基本知识的考查. 2．（2020·上海市行知中学高三开学考试）已知平面上点O与线段 ，若线段 上有 个异于端点A、B的互异动点 、 、 、 ，且满足 ， 、 ， ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 共线求得 的关系式，结合基本不等式求得 的取值范围. 【详解】 ， 所以 对任意 均成立，并且当且仅当 时等号成立. 由于 共线，所以 ， 由于 在线段 上且异于端点 ，结合 以及平行四边形法则可知 . 若 ，此时 为线段 中点，仅有 点，但 . 所以 .故选：B 【点睛】本小题主要考查基本不等式，属于中档题. 3．（2019·上海市青浦高级中学高三月考）已知 中， ，则 的形状为( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则可得 ,可得 ，即 ，得到答案． 【详解】根据向量的运算法则可得 ,所以 ， 所以 ，所以 为直角三角形，故选B． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形形状的判定问题，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理化简、运算得出 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．（2020·上海高三专题练习）设 ， ， 是三个非零向量，且 与 不共线，若关于 的方程 有两个实根 ， ，则( ) A． B． C． D． ， 大小不确定 【答案】B 【分析】将两根分别代入方程作差化简为 ，由已知分析即可得结果.