考向11 正弦、余弦定理和解斜三角形-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向11 正弦、余弦定理和解斜三角形 一、填空题 1．（2021·山东高考真题）在△ 中， ， ， ， 等于______． 【答案】 【分析】由和角正弦公式求 函数值，再应用正弦定理求 即可. 【详解】 ， 由正弦定理可知， ， ∴ . 故答案为： 2．（2019·上海高考真题）在 中， ，且 ，则 ____________ 【答案】 【分析】根据正弦定理求出 ，再利用余弦定理求出 . 【详解】由正弦定理可知： ，又 由余弦定理可知： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题. 二、解答题 3．（2021·北京）在 中， ， ． （1）求 ； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上中线的长． 条件①： ； 条件②： 的周长为 ； 条件③： 的面积为 ； 【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ，解得 ； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ， 与 矛盾，故这样的 不存在； 若选择②：由（1）可得 ， 设 的外接圆半径为 ， 则由正弦定理可得 ， ， 则周长 ， 解得 ，则 ， 由余弦定理可得 边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得 ，即 ， 则 ，解得 ， 则由余弦定理可得 边上的中线的长度为： . 1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cos C＝<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形. 4.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解. 六、正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝2R＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝；，sin C＝，sin B＝ (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. ＝acsin B＝bcsin A＝absin C＝ 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 七、解三角形的实际应用 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2). 3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 一、单选题 1．（2020·上海虹口区·高三一模）在 EMBED Equation.DSMT4 中，若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先利用数量积运算化简得到 ，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以三角形是直角三角形. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理. 2．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）在锐角 中， ， ､ 的对边长分别是 ､ ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定B的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可. 【