专题16 由不等式恒(能)成立求参数范围的方法-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法16 利由不等式恒(能)成立求参数范围的方法 基本原理 类型 解　　读 典例指引 讨论最值 先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围； 例1 分离参数 先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 例2 温馨提醒 在利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论. 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【江西省萍乡市湘东中学2022届高三上学期开学考】已知不等式恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 解：设，则， 由题意，若，则恒成立，是上的增函数，时，，不等式不能恒成立，当时，时，，递减，时，，递增，所以时，， 所以， 所以，令， ，， 令，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，的最大值是．故选：A． 【方法】讨论最值 例2【2022安徽省十校联盟开学摸底】已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：由，得，即， 记，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， ，记，， ，，，， 时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴，.故选：A. 【方法】分离参数 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【2022安徽省十校联盟开学摸底考】若不等式对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为（ ） A．2 B．E C．3 D．e2 解：由题意得，，即， 令，易知函数在（0，+∞）上单调递增，从而不等式转化为，则，即，令，则， 当0<x<1时，，单调递减；当x>1时，，单调递增，则当x=1时，有最小值，即，则m的最大值为e.故选：B. 【方法】讨论最值 2．【2022安徽省江淮十校联考】若，恒成立，则a的最大值为（ ） A． B．1 C．e D． 解：由，， 由，①若，，此时满足； ②若，令，在恒成立， ∴在单调递增，而， ∴在恒成立， 综上，在恒成立，， 令，， 在单调递减，单调递增， ∴，即有． 故选：C 【方法】分离参数 3.【2021江苏省南京市第五高级中学调研】已知对，不等式恒成立，则实数a的最小值是（ ） A．e B． C． D． 解：对，不等式恒成立，等价于在恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以， 所以.故选：C. 【方法】分离参数 4．【河北省部分学校2022届高三上学期第一次月考】已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 解：由题意，原不等式可变形为，即， 设，则当时，恒成立， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，， 因为在上单调递增，所以要使，只需， 两边取对数，得，因为，所以； 令，因为， 所以在上单调递增， 所以， 所以，则，故正实数的最小值为， 故选：B. 【方法】分离参数 5．【重庆市第八中学2022届高三上学期入学摸底】若对任意的正实数，不等式，则实数的最大值是（ ）． A． B． C． D． 解：由题意，对任意的正实数，不等式， 即对于任意恒成立， 令（）， 可得，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数的最大值是.故选:A． 【方法】分离参数 6.（多选题）【2021届高三数学临考冲刺原创】设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以时，函数取得最小值， 因为恒成立， 所以恒成立，且， 可得实数的所有可能取值1，2，3， 故选：ABC. 【方法】讨论最值 7.【重庆市合川实验中学2021届高三上学期第一次月考】定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为______________． 解：因为存在实数x使不等式对任意恒成立，所以， 而，则， 令，则，所以在上单调递增，且， 所以时，，即，故单调递减；时，，即，故单调递增；所以在处取得极小值也是最小值，故 ， 因为不等式对任意恒成立， 时，不等式恒成立； 时，不等式等价于；令，则，故在上单调递增，故，所以，因此实数a的取值范围为. 故答案为：. 【方法】讨论最值 8．【2022届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考】已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____． 解：∵ 恒成立， ∴