专题04 圆的计算综合题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（河南专用）

专题04 圆的计算综合题 1．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 2．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长． 使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，　 　． 求证：　 　． 3．（2019•河南）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是上不与点，重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）填空： ①若，且点是的中点，则的长为　 　； ②取的中点，当的度数为　 　时，四边形为菱形． 4．（2018•河南）如图，是的直径，于点，连接交于点，过点作的切线交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点．填空： ①当的度数为　 　时，四边形为菱形； ②当的度数为　 　时，四边形为正方形． 5．（2021•长葛市一模）如图，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若于点，且，，求图中阴影部分的面积． 6．（2021•辉县市模拟）如图，是的直径，是半圆上任意一点，连接并延长到点，使得，连接，点是弧的中点． （1）证明：． （2）①当　 　时，是直角三角形； ②当　 　时，四边形是菱形． 7．（2021•河南模拟）如图，直角三角形中，以斜边为直径作，的角平分线交于点，过点作的切线交延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 8．（2021•郑州二模）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容：“如图，内接于，直径的长为6，过点的切线交的延长线于点．”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目，并解答问题． （1）若添加条件“”，则的长为　 　； （2）小亮说：“我添加的条件是，可以得到”你认为小亮的说法是否正确？请说明理由． 9．（2021•中牟县二模）如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接． （1）当时，求证：； （2）当　 　度时，为菱形． 10．（2021•禹州市模拟）如图，在等腰直角三角形中，，以为直径作，点是边上的一点，连接，过点作于点，交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． （1）求证：． （2）若的直径为，，求出的面积． 11．（2021•河南模拟）如图，是的直径，是圆上不与点、重合的动点，连接并延长到点，使，连接，是的中点，连接、、． （1）求证：． （2）填空： ①若，当　 　时，四边形是菱形； ②当　 　时，四边形是正方形． 12．（2021•河南模拟）如图，是的直径，弦，垂足为，为上一点，过点作的切线，分别交，的延长线于点，．连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，若 ①，，则　 　． ②当　 　时，四边形是菱形． 13．（2021•濮阳一模）如图，为的直径，点是上一点．与相切于点，过点作，交半圆于点．连接，． （1）求证：是的角平分线； （2）若，，求的长； （3）若．试判断以，，，为顶点的四边形的形状为　 　． 14．（2021•禹州市一模）如图，是的直