专题10 锐角三角函数（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 河南中考锐角三角函数专题汇编，整合近5年真题及模拟题，聚焦正弦余弦应用、解直角三角形计算与实际建模，突出核心考点与解题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约10题/30分|已知正弦/余弦求边长、特殊角三角函数值|结合网格、圆等图形，考查基础公式直接应用| |填空题|约10题/30分|解直角三角形相关计算、几何综合|涉及折叠、旋转动态问题，强调等角转换与勾股定理结合| |解答题|约15题/90分|解直角三角形应用、综合实践|以仰角俯角、坡度等实景模型为背景（如地下车库改造、测量古塔高度），分层设问，突出建模能力|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01已知正弦值求边长 1.C 考点02已知余弦求边长 2.(1)②④ 2)D∠ACD=∠ACB 理由： 延长CB至点E,使BE=DC,连接AE, A ABCD -=- C ,四边形 是邻等对补四边形， .∠ABC+∠D=180°， .∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠D ..AB=AD, .△ABE≌△ADC|SAS, .∠E=∠ACD,AE=AC, ∴.∠E=∠ACB, ∴.∠ACD=∠ACB. 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②m+n 2cos0 6)122或122 5 考点03解直角三角形的相关计算 3.(1)60°；4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： .四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, ∴.AB=AD=BC=4,ADBC, ∴.∠ABC=180°-∠BAD=60°， AB=AE, ∴.AD=AE=AB, ∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-C, ∠AEB=2180°-∠BAE=90°-号 ∠AED-=180°-∠EAD=1800-120-a=30+号 ∴.∠BEH=180°-∠AEB-∠AED=180°-9 0-}-30+-60 '.BE=BH, .△BEH为等边三角形， ∴.∠EBH=60°， ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, ∴.∠ABE=∠CBH, '.BE=BH,AB=CB, .∴.△ABE≌△CBH SAS, ∴.AE=CH, ∴.CH=4. 6)15或105， 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 号 4 5. 2V2+1/1+2V2 2V2-1/-1+2V2 6.(1)180°8. (2) ①β=2a,理由如下： 连接AP1, ●P3 P2。D P 图2 由对称性可得，∠PAB=∠P1AB,∠P1AD=∠P2AD, ∠PAP2=∠PAB+∠P1AB+∠P1AD+∠P2AD =2∠P1AB+2∠P1AD =2∠P1AB+∠P1AD =2∠BAD B=2a, ②2 msina 3)2V6或3V2-6 7.(1)3 (2)半径为2，圆心角为60° 833子 8.A 9.(I)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC (2)①15,15： ②∠MBQ=∠CBQ,理由如下： 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BM=BC,BQ=BQ '.Rt△BQM≈Rt△BQC HL .∴.∠MBQ=∠CBQ 3)AP=40 4 cm或 3 cm 考点04解直角三角形的应用 11.任务一：BB'的长约为4.3m.任务二：3.4m. 12.(1) 证明：如图，连接BM ∠AMB=∠APB …E D 则 .∠AMB>∠ADB, ∴.∠APB>∠ADB (2)塑像AB的高约为6.9m 13.树EG的高度为9.1m 14.1)证明：.⊙0与水平地面相切于点C, ∴.OC⊥CD, .AD⊥CD, .AD‖OC, AB与⊙0相切于点B, ∴.AB⊥OB, ∴.∠OBA=90°， 过点B作BE‖AD, 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A ∴.∠BAD=∠EBA BE/IOC B D .∠COB=∠OBE, ∴.∠COB+∠BAD=∠OBE+∠ABE=∠OBA=90°， 即∠BOC+∠BAD=90°. (2)50cm 15.拂云阁DC的高度约为32m 一年模拟练测园 1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.D 8.23-2 3 10.45 11.1或V7 12.6或3V73V7或6 18.9-28 9m_3/3 14.42 5/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.153+15m 16.摄像头A距离地面的高度为3.6m 17.1)AC=7.2米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 3)能 18.1)①AD=CE:②120° (2) (1)中的结论不完全成立，理由如下， ,∠ACB=60°， .∠ACP=180°-60°=120°， .CE平分∠ACP, :∠ACE=∠ACP=60, 2 .∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°， ,∠ABC=∠DBE=90°， ∴.∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE, 在△ABC和△DBE中， ,∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠DEB=60°， ∴.△ABC△DBE DR 即ABDB BC BE ,∠ABD=∠CBE, .△ABD~△CBE, AD=AB CE BC ,∠BAD=∠BCE, 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， =tan60°=/3. BC .AD=3CE, :∠BCE=120°， .∠BAD=120°， 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.(1)中的结论不成立，正确的结论是AD=3CE,∠BAD=120°： B)43或q3 19.(1)5 2)4+ 3 8)15或219-9V73 8 20.81.2 21.1)解：由题意得BECD为矩形， .'BE=CD=1.4m,CE=BD=42m, :在Rt△AEC中，tan∠ACE=Ag CE ..AE=CE×tan61°=42×1.804≈76m, ∴.AB=AE+BE=76+1.4≈77m, 答：该钻井平台AB的高度为77m (2)19 22.(1)30 (2)40.3cm 23.9米 24.古塔的高度约为30.02米 25.1.4m 26.(1)6.3km (2)能 27.1)礼堂AB的高度为11.2m; (2)atanβ+tanym 3)使用同一种方案测量3次以上，取平均值（言之有理即可）· 28.12.8米 29.1)2-V5 2} a 30.1)23.1m 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)5%'产生偏差的可能是测量的误差，包括距离的测量和仰角的测量误差，且在计算时进行四舍五入取 近似数，也是导致偏差的原因之一 31.30V3 32.1)乙组 (2)茗阳阁的高度为47.5m 3)误差为0.45m,建议多次测量求平均值（答案不唯一） 33.古树CD的高度为27米 34. 35.1) 2 (2) X+2 36.(1) 如图，点D即为所求 20 H 77777777 7777 B (2)这棵大树的高度AB约10.0米 37.1)2+V3 2)K+1 x-2 38.(1)11.6米 (2)不合理，建议：多次测量求平均值或使用更精密的仪器（答案不唯一，合理就行） 39.1)5+3V3 2)*=3 y=-1 40.32m 41.1)5.7米 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.1* 42.1)图形补全如下： D C(P) AD=BD,AD=PD (②)解：AD=BD=PD仍成立，理由如下： 如图，作DE⊥AB于点E, ,△PBD是等边三角形， .PB=BD=PD,∠PBD=60° .∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，∠PBD=∠ABP+∠DBE=60°， ∴.∠PBC=∠DBE. DE⊥AB, ∴.∠BED=∠AED=∠C=90°， 在△PBC和△DBE中， |∠PBC=∠DBE ∠C=∠BED PB=BD .△PBC≌△DBE AAS, ..BC=BE, 由(1)可知， B. -n. .'BE=AE, 在△ADE和△BDE中， 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE=DE ∠AED=∠BED AE=BE △ADE≌△BDE SAS, .AD=BD=PD: 6)6+82或6-2 2 2 43.1)1+9V3 (2)x2-2x 4,无人机距离地面的高度CD为403-40米. 45.1)14.3米 2127.1米 46.1)甲组的测量方案不够完整，还需要测量出BD的距离 (2)大树AB的高度约为9.6m 47.75.7米. 48.1)35° (2)国旗旗杆DE的高度约为12.8米 49.180米. 50.84.8cm 51.(1)3 X=3 2)y=-1 2 5 52. 03 10/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D F 3) E 53.(1)2 (2)2≤x<4 54.1)方案一 (2)24.3米 11/11函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 近5年每年必考，选 核心利用sinA=斜边对边建立等式计算边长；常结合等 考点01已知正弦 择、填空小题为主，分值 3 分；常嵌入圆、相似综 角转换、圆周角相等构造等角求正弦；计算难度低， 值求边长 合题第一问，2023、2025 是解直角三角形基础入门考点，易错点混淆对边、邻 年单独命题 边 5年4考，多搭配网 考点02已知余弦 依托cosA=斜边邻边列式求值；网格题型高频，通过格 格、直角三角形图形出 求边长 题，分值3分；常与折 点直接找直角三角形求余弦；常和勾股定理配套使 叠、坐标系结合考查 用，侧重基础公式直接应用 全时段高频，选择、填 覆盖正弦、余弦、正切、30145/60°特殊三角函数 考点03解直角三 空、解答均有，分值3-7 值、勾股定理综合运算；命题常给一边一角求其余 角形的相关计算 分：几何综合、圆大题固 边、角；常作为几何大题中间计算步骤，是串联圆、 定搭配此计算 相似、四边形的通用工具 近5年100%必考中档 固定考查仰角、俯角、坡度、方位角四大实景模型： 考点04解直角三 题干文字信息量大，核心是作高拆分双直角三角形： 解答题，固定第18题， 设问分层，第一问简单计算，第二问结合近似值求解 角形的应用 分值9分，整套试卷稳 实际高度1距离；套路标准化，建模是解题关键，极 定拿分大题 少复杂陷阱 五年真题分类园 考点01已知正弦值求边长 1.(2024河南中考真题)如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点， 连接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为() 1/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8π 16π A. B.4 3 C. 3 D.16π 考点02已知余弦求边长 2.(2024河南中考真题)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行 研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. ② 图1 D B 图2 图3 (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号)· (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由： ②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的长（用含m,n,的式子表示）. 2/33 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长. D ABCD B C ,四边形 是邻等对补四边形， .∠ABC+∠D=180° .∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠D, .AB=AD. .△ABE≌△ADC SAS, ∴.∠E=∠ACD,AE=AC, ∴.∠E=∠ACB .∠ACD=∠ACB: 考点03解直角三角形的相关计算 3. (2026河南·中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为Q.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. A B C 图1 图2 (1)【观察猜想】 当c=30时，如图1，∠BEH的度数为 CH的长为 (2)【探究证明】 3/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0°<α<120时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由。 3)【拓展延伸】 当0°<a<120°时，若△DCH的面积为42，请直接写出此时旋转角a的度数. 4.（2025河南·中考真题)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在 △ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 5.(2024河南·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面 内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 最小值为 D 6.(2023河南·中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发 展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答. ●P3 P2◆ D P B 图1 图2 备用图 1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线！y轴，作△ABC关于y轴对称的图形 △A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可 以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A,B,C3可以看作是△ABC向右 平移得到的，平移距离为 个单位长度. 4/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)探究迁移：如图2，口ABCD中，∠BAD=a0°<Q<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线 AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的 情形解决以下问题： ①若∠PAP2=β，请判断B与a的数量关系，并说明理由； ②若AD=m,求P,P3两点间的距离. B)拓展应用：在(2)的条件下，若a=60°，AD=23,∠PAB=15°，连接P,P3.当P2P3与 口ABCD的边平行时，请直接写出AP的长. 7.(2023河南·中考真题)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以 反比例函数y=k图象上的点AR3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x轴 上，以点O为圆心，OA长为半径作AC,连接BF. 1)求k的值； (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数： (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 8.(2023河南·中考真题)如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点， 再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x, P=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图 PC 象，则等边三角形ABC的边长为() A(P) 23 43x 图1 图2 A.6 B.3 c.43 D.23 5/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2022河南中考真题)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 0 D M E F B C 图1 图2 图3 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ. ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=°，∠CBQ=°： ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说 明理由。 (3)拓展应用 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时，直接写出AP的长， 10.(2022河南·中考真题)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O处，得到扇形 AOB.若∠O=90°，OA=2,则阴影部分的面积为 A B B 考点04解直角三角形的应用 11.(2026河南·中考真题)某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造.为此，某数 6/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下， 活动 地下车库入口改造 主题 图1是地下车库入口示意图， ①点C,B,D在同一水平线 口口口 上，点E,A,F在同一水平线 ▣▣▣ ® B 里 D 采集 C 车库入口地面 上，CD∥EF 信息 E A -…F ②斜坡AB的长为10m, 车库地面 图1 ∠BAF=26.4°. ③车库限高2.7m. 口▣▣ 如图2，保持点A不动，将点B ▣▣▣ B B D 设计 C 车库入口地面 沿射线BD平移到点B,使 方案 E A ∠BAF=18.4°. 车库地面 …F 图2 任务一：求BB的长 任务二：调整限高.经计算， 点C到斜坡AB的距离约为 完成 2.7m ?m 3.47m.在保障行车安全的前 任务 提下，车库限高标志上的数值 图3 最大可为 (结果均 保留一位小数) 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90， tan26.4°≈0.50，sin18.4°≈0.32，cos18.4°0.95，tan18.4°≈0.33). 12.(2024河南中考真题)如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水 平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经 过A,B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最 大视角. 7/33 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O。 视角 B D. 图1 图2 (I)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平 距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m,参考数据：3≈1.73）， 0 ∠AMB=∠APB -E C 则 ,∠AMB>∠ADB, .∠APB>∠ADB. 13.(2023河南中考真题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A与树 顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m, BH=20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1m)· MC 14.(2022河南·中考真题)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比 赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 ⊙O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内， 当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果， 8/33 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y C D (I)求证：∠BOC+∠BAD=90°. (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位 置，此时点A距地面的距离AD最小，测得COs∠BAD= .己知铁环⊙O的半径为25cm,推杆AB的长 为75cm,求此时AD的长. 15.(2022河南·中考真题)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云 阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰 角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为 1.5m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m.参考 数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67). 45F34E B 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026河南平顶山一模)如图1，在菱形ABCD中，BC=23,∠BAD=120°·将△BCD沿 直线BD向左平移，得到△BCD,O为BD的中点，连接OC,如图2，当OC⊥BC时，BB的长为 () 9/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 A.3 B.3 C.2 。9 2.(2026河南鹤壁.一模)规定：sin-x=-sinX,cos-x=cosx, cosx+y=cosx cos y-sin xsiny,sinx+y=sin x cos y+cosx sin y.给出以下四个结论：① sin-45=- V贩 2： ②sin20=2sin0cos0;③cosa-β=cosa cosβ+sina sinβ；④ C0s75°= V6-V2 其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026河南郑州一模)拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长AB=54cm,当手臂自然下垂拉旅行 箱时，人体感觉较为舒服.若此时拉杆伸长长度BC=aCm,拉杆与水平面夹角为Q,则拉杆把手处C到地 面的距离CD为() D A.54+a tan a cm B.54+asinacm C. 54+a cm 54+a D. cm tan q sina 4.(2026河南南阳一模)如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示 线段AP的长，y表示线段BP的长，y与X之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是() 10133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3 2 01234 图1 图2 A.AB=2 B.m∠BAC- C.BC=23 D.AB2+BC2=AC2 5.(2026河南商丘一模)如图，在平面直角坐标系中，直线CE,DF交于点G,若点C,D,E,F的坐 标分别为0,3,2,0,4,0,0,4，则cos∠DGE的值为() C 3 25 2 5 A. 5 B 5 c. D.5 6. (2026河南三门峡二模)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tnA的值等于() B A.1 c.26 5 。号 7.(2026河南平顶山·二模)在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点O(0,0),A(2,0),B3,V3), 把菱形OABC绕原点顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2026次点B的坐标为() 11/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(3,3) B.(-3,-93) c.(3,-3) D.(-3,3) 二、填空题 8.(2026河南平顶山一模)如图，AB是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，OC与⊙O交于点D,与AB交 于点E,∠BEC=75°，若OC⊥OA,OA=2,则图中阴影部分的面积为 B D 9.(2026河南南阳一模)如图，BCLAC,an∠BMC=员BC=5,E是AB边上一动点，过点E 作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，连接FC,当△BCF 是以BF为腰的等腰三角形时，AD的长为 10.（2026:河南平顶山一模)已知c为锐角，且关于x的方程16x2-X:sina+,已 =0有两个相等的实数 128 根，则a的大小为 11.(2026河南洛阳一模)在四边形ABCD中，ADBC,AB=AD,∠B=∠C=60°，在四边形 ABCD内部有一点E,使得△ABE与△ADE均为直角三角形，则BE DE 12.(2026河南驻马店·二模)线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,连接BC,点P和点B位于直 线AC异侧，点P不在直线BC上，且∠APC+∠ABC=90°，连接BP,若AB=3,CP=33,则BP= 12133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026河南周口·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0)，以点O为圆心，OA长为 半径作弧交y轴的正半轴于点B,过点C(0,2)作y轴的垂线交弧于点D,则图中阴影部分的面积为 C 0 A B D A(4,0】 ----- 不： ∴.⊙O半径OA=OB=OD=4, :点C(0,2),CD1y轴， .△OCD是直角三角形，OC=2,∠OCD=90° 由勾股定理：CD=0D2-0C-4-2=2V3 又cos∠C0D=OC=2=1 OD 4 2 .∠BOD=∠COD=60° ∴扇形OBD面积： nmr2_60元×42_8π 360360 3 Rt△OCD面积： 1×0C×CD=)×2×23=23 ,阴影面积=扇形OBD的面积-Rt△OCD的面积= -23 8 14.(2026河南商丘·二模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3,BC=3V3，,以点A为圆心，AB长 为半径作弧经过点C,过点A作AD⊥AB,分别与BC,BC边交于点D,E,则图中阴影部分的面积为 13133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 15.(2026河南三门峡二模)如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为5m/S, 从A处沿水平方向飞行至B处需12s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则 这架无人机的飞行高度大约是 (结果保留根号) A ⊙ 75 C130 水平线 三、解答题 16.（2026河南三门峡.一模)无人售货超市吸引了很多夜班族的光临.如图，小军在一家无人售货超市 购物时站在点E处，此时距离小军最近的扫描支付摄像头在小军前方22°仰角的D处，这台摄像头处有其 他顾客正在使用，小军打算去后方仰角0°的A处使用另外一个扫描支付摄像头.已知小军身高1.7m,摄 像头D距离地面2.7m,两台摄像头的水平距离BC=5.9m,求摄像头A距离地面的高度.（结果保留一位 小数.参考数据：√3≈1.7，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 4 30° 21220 H B 17. (2026河南商丘·一模)为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面 行驶.如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长CD,与AB交于点E,坡道AB的坡比（指坡 面的铅直高度CE与水平宽度AC的比)i=1:2.4,已知CE=3米，CD=0.4米. 限高 ?m B (1)请求出AC的长. 14133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志.根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点D 到AB的距离. 3)为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留0.3米的安全距离.现有一辆装满家具的小型货车，车装满 家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车_（填“能”或“不能”）驶入该车库。 18.(2026河南信阳·二模)如图，△ABC与△DBE是具有公共顶点的两个三角形，且 ∠ABC=∠DBE=a,∠ACB=∠DEB=60°，且点E在△ACB的外角∠ACP的平分线上，连接AD D D B 图1 图2 备用图 (I)【问题发现】如图1，在△ABC和△BDE中，a=60° 填空：①线段AD与CE的数量关系是 :②∠BAD的度数是 (2)【类比探究】 如图2，在△ABC和△DBE中，a=90°，请问(1)中的结论还成立吗？并说明理由. 3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，若BC=1,连接AE,请直接写出当△ACE是直角三角形时AD的长. 19.(2026河南平顶山一模)综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探 究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动.已知在矩形ABCD中，AB=24,AD=18,点E在BC边上， 点F在AB边上. 图1 图2 图3 特例研究： (I)如图1，精英小组将矩形ABCD沿EF进行折叠，使点B的对应点B恰好落在CD边的中点处，求CE的 长 探索发现： 15133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，光明小组将矩形ABCD沿AE进行折叠，使点B的对应点.B恰好落在CD边上，连接BB,求 tan∠ABB的值. 拓展延伸： B)如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形ABCD沿EF进行折叠，得到△BEF,连接AB,点E 是BC的中点，点F是AB边上的一个动点（不与AB的两个端点重合）.当△ABF为直角三角形时，直 接写出AF的长， 20.(2026河南平顶山一模)某数学兴趣小组在户外开展综合实践活动，撰写实验报告如下. 实验主题 测量风力发电机舱的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 1.风力发电机舱在点A处，三片扇叶两两所成的角为： 2. 数学兴趣小组的同学在点C处安放测角仪： 实验过程 3. 测得扇叶AE的末端点E的仰角为B: 4.测得点C离塔杆AB的距离CF的长 实验图示 B 测量数据 1.a=120°；2.β=53°；3.AE=26米，CF=92米 1.测角仪高度CD=1.5米： 2. 图上所有点均在同一平面内： 3.AB,CD均与地面BD垂直： 备注 4.参考数据： sin53°≈4 cos53oE,tan53c≈4，d 3≈1.73 请你根据以上实验过程和测量的数据，求风力发电机舱的高度（精确到0.1米）· 21.(2026河南南阳.一模)综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台.某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平 台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据. 16/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 61C -1.4m B 42m D 图1 图2 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1.活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2.测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图. 1.测出测角仪的高CD为1.4m. 2.利用测角仪测出钻井平台顶端A的仰角∠ACE=61°. 3.测出测角仪CD底端D处到钻井平台AB底端B处之间的距离BD为42m. 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三， (1)任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台AB的高度.（结果精确到1m)(参考数 据：sin61°≈0.875，cos61°0.485，tan61°≈1.804) (2)任务三换算模型高度：将该钻井平台AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为 cm （结果精确到1cm） 22.（2026河南鹤壁.一模)长嘴壶茶艺是我国非物质文化遗产，以行云流水的技法展现传统茶文化魅力， 如图①是某款长嘴壶的抽象示意图，水平桌面抽象为直线！.已知壶身AD=BC=24Cm,且AD=3AE, AB=30cm,CD=22cm,且DCAB.壶嘴长EF=80cm,∠FED=70. (参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.7，sin70°0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75) 17133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B ① ② ()求FE所在直线与水平桌面的夹角度数. (②)如图②，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF‖l,求此时点F下落的 高度.（结果保留一位小数） 23.(2026河南漯河·一模)周口弦歌台孔子雕像为花岗岩材质，是现代建造的纪念性雕像.某数学课外 活动小组开展了“测量孔子雕像高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量孔子雕像高度 准备工具 测角仪、卷尺等 测量示意图 ar( D 活动小组在C处测得孔子雕像顶端A的仰角为Q,然后向孔子雕像处走 测量方案 了x米到达E处，并测得此时孔子雕像顶端A的仰角为β 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角a的度数 34.8° 35.2° 35 测量数据 仰角β的度数 59.7o 60.3° 60° D,F两点间 6.4米 6.6米 6.5米 的距离 1.测角仪的高为1.4米；2.图上所有点均在同一竖直平面内；3.AB 备注 EP,CD均与地面BD垂直.参考数据：tan35°N0.70,V3≈1.73 请你根据表中的信息求出孔子雕像AB的高度.（结果精确到1米） 18133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026河南平顶山一模)开封市尉氏县兴国寺塔始建于北宋太平兴国年间（公元976年-984年)， 2006年5月25日尉氏兴国寺塔被国务院公布为第六批全国重点文物保护单位.为了测量这座古塔的高度， 小亮在水平开阔地面上选择点E,运用测角仪（测角仪与水平地面垂直，在点A处测得塔顶点C的仰角是 45°，再向着古塔的方向前进20.80米到点F,在点F处运用测角仪测得塔顶点C的仰角恰是75°，如图所 示.己知测角仪观测点到地面的高度是1.60米，运用以上数据，计算古塔的高度CD.(结果精确到 0.01m.参考数据sin75°0.966，sin45°≈0.707，cos75°≈0.259，cos45°≈0.707， tan15°=2-3，tan75°=2+V3,3≈1.732，V/2≈1.414) 25.(2026河南平项山·一模)夏季来临，小红想为自家房子安装遮阳棚（如图1），侧面如图2所示，遮 阳棚展开长度MN=2m,遮阳棚前端自然下垂边的长度NC=O.3m,遮阳棚固定点A距离地面的高度 AM=3m,遮阳棚与墙面的夹角∠NMA=70°.某时刻的太阳光线与地面的夹角∠CDB=76°（如图3 )，求此时遮阳棚在地面上的遮挡宽度AD的长， (精确到0.1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24 tan76°≈4.0) M M B D B 图1 图2 图3 26.(2026河南一模)如图，M为某物流中心，N,P,Q为三个驿站，N在M的正南方向4.8km处， Q在M的正东方向，P在Q的南偏西35°方向2km处，N在P的南偏西60°方向.（参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73) 19/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 北 36o D 60° (1)求驿站P与驿站N之间的距离（结果精确到0.1km); (2)购物节期间，派送员从物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M→N一P→Q的路线派送快递到 各个驿站，派送员途经N,P两个驿站时各停留5min存放快递，请通过计算说明派送员能否在40min内到 达驿站Q, 27.(2026河南洛阳一模)某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂AB的高度作为一项课题 活动，他们制定了两种测量方案，并制作了如下不完整的测量报告， 课题 测量学校礼堂的高度 方案 方案一 方案二 测量工具 标杆，平面镜，测角仪，皮尺 测角仪，皮尺 测量方案示意 图 a 1- DE B D 王青在地面上E处水平放置平面镜调 整自己位置，站在D处时，眼晴C恰 小方站在D处，眼睛C看礼堂 好在镜子中看到礼堂顶部A,且点B 顶部A的仰角为β，看礼堂底 测量过程 、E、D在同一水平线上，此时测得 部B的俯角为Y.测量BD的 礼堂顶部A的仰角为Q.测量CD及 长 DE的长. 数据记录 a=51°，CD=1.6m,DE=1m. 结果 AB= AB= 20133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据以上信息，解决下列问题， (1)请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂AB的高度（结果精确到0.1m.参考数据： sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2)； (②)若方案二中测得BD=am,用含有a,阝，Y的式子表示礼堂AB的高度为_： 3)该小组根据方案二计算出礼堂的高度约为10.5m,若礼堂的实际高度为11.5m,请为该小组提供一条能 使测量结果更准确的建议 28.(2026河南南阳一模)学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形 知识求出该电子屏的高度.如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼CE的顶端即电子屏的上端 点E的仰角为31°，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为61°、电子屏的下 端点F的仰角为45°.已知点A,B,C,E,F在同一平面内，且A,B,C三点在一条直线上，求电子屏 的高度EF(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48. tan61°≈1.80) A 29.(2026河南南阳·一模)计算与化简 (1)_12026+ V20 2cos60+1RV5-3 2 2)a2-2a+1.。 2a. a- a2-1 a+1 30.(2026河南安阳.一模)殷墟博物馆新馆是首个全景式展现商文明的国家重大考古专题博物馆.某校 数学兴趣小组开展“测量殷墟博物馆新馆主体建筑高度”的综合实践活动.如图，测量小组在博物馆正前 方的水平地面上选取了A,B两点（点A,B,D在同一直线上），用高为1.5米的测角仪进行测量.在A 处测得博物馆顶端C的仰角为37°，然后沿AD方向前进12.6米到达B处，在B处测得顶端C的仰角为53°. E37°.F以53 A B D 21133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()求博物馆主体建筑CD的高度（参考数据：sin37°≈3 ,C0s37≈4 tan37o≈3 sin53≈4 C0s53°≈3 tan53°≈4 (2)查阅资料得知，殷墟博物馆新馆主体建筑实际高度的参考值约为22米.请计算本次测量的相对偏差 测量值-参考值 (相对偏差= 参考值 :×100%)，并分析产生偏差的可能原因（写出一条即可）· 31. (2026河南周口·一模)如图，为测量河宽AB,在河岸边取一点C,测得∠ACB=30°，沿CB方向 前进60米到达点D,测得∠ADB=60°，求河宽AB(结果保留根号)， D B 32. (2026河南商丘·一模)信阳是全国宜居城市，有“江南北国，北国江南”之称.这里青山常绿，绿 水长流，茶香四溢，到处充满诗情画意.茗阳阁（如图）是信阳八景之一，它坐落在风景秀丽的浉河之畔， 某校数学社团决定利用周末时间开展一次“测量茗阳阁的高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了 如下方案：（结果精确到0.01米） 课题：测量茗阳阁的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测 量 卷尺、测角仪 卷尺、平面镜 具 测 A 量 个 意 c⑩返 OM 图 B 22133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 测 量 先在点Q处在距离地面1m的D 方 点用测角仪测出塔顶端A的仰角 在M处放一面镜子，小明在P 案 a=45°，再沿QP水平方向前进 处通过镜子反射刚好看到塔的 与 15.5m后到达P处，在距离地面 顶端A,测得身高175cm的小 测 1m的C点测得塔顶端A的仰角 明到平面镜的距离QM=2m 量 B=37· 数 据 参 杀 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 数 据 (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果.”你认 为 (填“甲组”或“乙组”)的测量报告存在问题： (②)请根据正确的测量报告计算出茗阳阁的高度： 3)官方”显示，茗阳阁的高度为47.05m,请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建 议. 33.(2026河南周口一模)我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学 文化.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的A点处测得古树顶端D的仰角为 30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A,B,C在同一 直线上.求古树CD的高度.（已知：2≈1.414,3≈1.732，结果保留整数） 23133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 30°人45° A B C 34.(2026河南周口一 )计第：3+ -9/9+2sin30° 35.(2026河南周口一模)计算及化简： 0)g4+1+π°-2cos45+1-2 ②)1-1 1 x+1 x+2x2+4x+4 36. (2026河南南阳一模)某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、 丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单. 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 FL22° P 某一时刻，大树AB在太阳光下的影子末 端落在地面上的点C处，甲同学在点C处 测量方法 竖立一根标杆CP,同一时刻标杆CP在 太阳光下的影子末端落在地面上的点D 处；丙同学站在点E处，他的眼睛在点F 处，观察得知，树顶A的仰角为∠AFG 标杆CP=2.5米，标杆CP的影长CD为2 测量数据 米，CE=13米，EF=1.6米，仰角 24133 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AFG=22°. 点B,C,D,E在同一水平直线上， AB⊥BE,PC⊥BE,FE⊥BE,图中 所有的点都在同一平面内，（参考数 说明 据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈d (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点D的位置：（不写画法，保留作图痕迹） (②)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度AB.(结果精确到0.1米) 37.（2026河南周口一模)计算、化简 1)计算： 1-2 +9V12-2c0s30° (2)化简： x2-4x+4 11 X-1 x2-1 38. (2026河南濮阳一模)问题提出 濮阳被誉为“中华龙乡”，数学兴趣小组的同学们到濮阳龙碑（如图1所示)进行研学活动，龙碑由碑身 及基座（底座与台阶）组成，他们想知道碑身的高度· 数据收集 如图2，小明在广场水平面的点M处测得碑顶A的仰角为35°，向水平方向前进7.25米到达点M,测得碑 项A的仰角为45°.已知测角仪到水平面的距离为1.66米，点A,B,Q在同一直线上，AQ⊥NN交直 线NN于点Q,龙碑基座（底座与台阶）的高约为6.97米. M K---T M N 图1 图2 数据应用 (1)请根据以上数据，计算碑身AB的高度（结果精确到0.1米.参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82，tan35°≈0.70). 25133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)查阅资料显示碑身的高度为13.0米.若测量的相对误差不超过3%，即测量合理.请你通过计算说明兴 趣小组的这次测量是否合理？若不合理，请给出一条能够减少相对误差的建议（相对误差 |测量值-克实值×100%). 真实值 39. （2026河南三门峡.一模)计算 )计算：-3+27+ -1 3 -2c0s60°： 3x-2y=11① (2)解方程组： X+2y=1② 40. (2026河南周口一模)项目式学习 拂云阁是开封清明上河园内的标志性仿宋建筑，造型优雅，阁高入云，某数学兴趣小组用自制的测角仪开 展了一次测量拂云阁高度的项目式学习活动，测量报告如下： 课题 测量拂云阁的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪等 利用量角器和铅锤自制如图1所示的简易测角仪，使用过程如图2， 在P点观察所测物体最高点Q,当量角器零刻度线上M,N两点与视 线PQ在同一直线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为Q 自制测角仪的使 用方法 D 图1 图2 如图3，小聪利用上述工具测量拂云阁EF的高度.他先站在水平地 面的点A处，视线为BE,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角α为 测量过程 55°；然后他向前走13m站在点C处，视线为DE,此时测角仪上视 线与铅垂线的夹角c为45°.已知小聪的眼睛到水平地面的距离为 1.5m 26133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A,C,F A 图3 (图中点 在同一条水平 直线上，点A,B,C,D,E,F均在同一平面内，AB⊥AF, CD⊥AF) 参考数据 sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，tan35°0.70 问题解决 求拂云阁EF的高度（结果保留整数） 41.(2026河南开封一模)为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安 装遮阳篷.如图，在侧面示意图中，遮阳篷CD长为6米，与水平面的夹角为18，且靠墙端C离地高CB为 5米.若太阳光线DE与地面AB的夹角为50. 18°-D Q 50° B (1)求遮阳篷边缘点D到墙体BC的水平距离： (②)求阴影BE的长.（结果精确到0.1米）参考数据：sin18≈0.31，cos18≈0.95，tan18≈0.32， tan50≈1.19，sin50≈0.77，cos50≈0.64 42.(2026河南焦作·一模)特殊化策略是借助特殊情形下获得的结论或方法来解决一般性问题，是一种 常用的解题策略.学校数学兴趣小组在探究如图1中PD和AD的大小关系时就用到了这种策略. 图1 图2 图3 备用图 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点P是直线AC上任意一点，连接PB,以PB为边 作等边三角形PBD(图中点P,B,D始终为顺时针顺序)，连接AD 27133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)问题特殊化 请在图2中补全点P和点C重合时的图形. 当点P和点C重合时，AD和BD的数量关系是_，PD和AD的数量关系是_， (2)探究问题 当点P和点C不重合时，上述关系还成立吗？请就图1的情况说明理由. 3)拓展延伸 如图3，连接CD,若AB=2,当△ABD是等腰直角三角形时，请直接写出CD的长. 43.(2026河南平顶山·二模)按要求完成各题： (1)计算： V12+ 1/1 -|R3-2-4cos30: (2)化简： x-3-4x-13 .x-2 X+3 x2+3x 44. (2026河南周口·二模)如图，一架无人机在点C处悬停，地面上A,B两点在同一直线上，AB=80 米.测得从A观察无人机的仰角为30°，从B观察无人机的仰角为45°.已知垂足D在线段AB上，求无人 机距离地面的高度CD, A30 45>B D 45.(2026河南平顶山·二模)如图，某人在山坡坡脚C处测得一建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向 上走到P处又测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米，且B,C,D三点在同一条直线上，山坡 坡度i=5:12. 0 00 00 00 山坡 0 63.4 3￡ B D 水平地面 (1)求此人所在位置点P的铅直高度（结果精确到0.1米）； 28133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部点B的路程（结果精确到0.1米）· (测倾器的高度忽略不计，参考数据：sin53°≈4， C0s53≈3 16,tan53o≈5，sin63.4o≈9 10 C0s63.4° 20tan63.4°≈2) 46.(2026河南驻马店·二模)学校数学兴趣小组利用所学的数学知识对大树AB的高度进行测量.他们分 为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案. 活动内容 测量大树AB的高度 工具 测角仪，皮尺 组别 甲 乙 A 测量示意图 Y入E M B D 组长用测角仪测量眼睛C看大树 顶端A的仰角β，测量眼睛C距 组长用测角仪测量眼睛C 离水平地面MN的高度CD,面 看大树顶端A的仰角Q,测 测量方案 向大树AB前进，测量眼睛E看 量眼睛C距离水平地面MN 大树顶端A的仰角Y,测量眼睛 的高度CD E距离水平地面MN的高度EF 用皮尺测得DF的长度. 所有点均在同一竖直平面 所有点均在同一竖直平面内， 内，MN表示水平地面， MN表示水平地面，AB⊥MN 说明 AB⊥MN于点B, 于点B,CD⊥MN于点D, CD⊥MN于点D. EF⊥MN于点F. B=22°，Y=45°， 测量数据 =30°，CD=1.6m CD=EF=1.6m,DF=12m 参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，P2≈1.414 29133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3≈1.732 计算 … 问题解决： ①)你认为哪个组的测量方案不够完整？请指出并将方案补充完整 (②)根据表中测量方案完整的小组测量出的数据，计算大树AB的高度（结果精确到0.1m), 47.(2026河南平顶山·二模)随着人民群众生活水平的提高，高层住宅越来越多，高层建筑的消防安全 问题越来越受到人民群众的关注.某公司开发出新型高层建筑消防安全救援逃生系统，如图，AB为高层 建筑，AC,AD为消防安全救援逃生通道，小明为了测量建筑物AB的高度，他先在楼前D处测得楼顶A 点的仰角为45°，再沿DB方向前进32米到达C处，测得楼顶A点的仰角为60°.已知∠ABD=90°. 请根据以上数据求建筑物AB的高度（测角仪的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据 2≈1.414，V3≈1.732) 60458 48.(2026河南平顶山·二模)如图，在数学室外活动课上，小红测得身高1.4米的小丽AB在地面1上的 影长BC为2米.同一时刻，小明发现国旗旗杆DE在太阳光照射下，一部分影子EF在地面1上，一部分影 子FG在教学楼墙上.小丽、旗杆、教学楼均与地面垂直。 G B CE (1)求太阳光线与地面的夹角∠ACB的度数. (②)小明测得EF=14米，FG=3米.求国旗旗杆DE的高度 (结果精确到0.1米.参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.7) 49.(2026河南平顶山·二模)鸡公山，位于河南省信阳市境内，是大别山的支脉，中国四大避暑胜地之 一，其主峰巨石状如引颈高啼的雄鸡，故名“报晓峰”，海拔约768米，是鸡公山的象征，素有“气压嵩 30/33 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 衡”之美誉.这里奇峰怪石、云海霞光，风景秀丽.某校数学兴趣小组前往鸡公山进行实地测量实践活动， 记录如下： 活 动 测量“报晓峰”的高度 主 题 实 物 图 和 B 量 示 意 图 测 如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B=31°， 量 再往山的方向（水平方向）前进80至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得 说 仰角∠ACE=39°（小明的身高忽略不计）， 明 参 % tan31°≈ n31号：a39 i,sin39≈ 7 11 数 据 备 点B,C,E在同一水平线上 注 根据以上信息，求“报晓峰”的高度。 50.(2026河南新乡·二模)带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如 图2是步行辅助器的侧面示意图.其中横杆EF与地面平行，框架AG与横杆EF的夹角∠GEF=62°，框 31133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 架HF与把手HI(与地面平行)的夹角∠GHI=120°.已知AG长为75cm,HG长为16cm,点A和点 B是车轮的圆心，车轮的半径为5cm.求把手H亚到地面的高度.（结果精确到0.1cm.参考数据： sin62°≈0.88，cos62°0.47，tan62°≈1.88,3≈1.73) G 4 图1 图2 51.（2026河南平顶山·二模)计算、解方程组： (1)1 |×6-n+1°-4 2sin30 (2)0 52. (2026河南三门峡·二模)利用方格纸可以非常方便地画出一些长为无理数的线段，也可以很容易地 求出一些角度的三角函数值，已知每个小方格的边长都是1，每条线段的两个端点都在格点上，请解答下 列问题。 B 图1 图2 图3 备用图 (1)图1中，sinA= ②)在图2中画出一个∠P,使得mP号 3)在图3中，画出满足下列条件的矩形DEFG, ①四个项点都是格点：②面积为10；③矩形的边长都是无理数. 53.(2026河南平顶山二模)计算，解不等式组 0计2sn60+号 +2-3-V16 32133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4x-1≥x+2 (2)解不等式组： 2x+1>x-1 3 54.(2026河南周口·二模)数学"综合与实践"小组的同学想测量校园内一棵大树MN的高度.他们制定了 如下测量方案： 课题测量善济塔的高度 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的B处测得塔顶A的仰角为45°，向前走12米到达点D处架起测角 仪，测得塔顶的仰角为33°，测角仪(BC,DE)的高度为2米 --E 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台CD顶部测得塔顶A的仰角为30°，测得塔底端B处的俯 角为14°，高台CD的高度为2米，测角仪DE的高度为2米 参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97， tan14°≈0.25,2≈1.41,3≈1.73 说明：所有的点均在同一平面内. (1)请判断上述哪种方案的误差较小： (2)请你帮小组的同学求出善济塔的高度.（结果精确到0.1） 33133 专题10 锐角三角函数 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01已知正弦值求边长 近 5 年每年必考，选择、填空小题为主，分值 3 分；常嵌入圆、相似综合题第一问，2023、2025 年单独命题 核心利用sinA=斜边对边​建立等式计算边长；常结合等角转换、圆周角相等构造等角求正弦；计算难度低，是解直角三角形基础入门考点，易错点混淆对边、邻边 考点02 已知余弦求边长 5 年 4 考，多搭配网格、直角三角形图形出题，分值 3 分；常与折叠、坐标系结合考查 依托cosA=斜边邻边​列式求值；网格题型高频，通过格点直接找直角三角形求余弦；常和勾股定理配套使用，侧重基础公式直接应用 考点03 解直角三角形的相关计算 全时段高频，选择、填空、解答均有，分值 3-7 分；几何综合、圆大题固定搭配此计算 覆盖正弦、余弦、正切、30°/45°/60° 特殊三角函数值、勾股定理综合运算；命题常给一边一角求其余边、角；常作为几何大题中间计算步骤，是串联圆、相似、四边形的通用工具 考点04 解直角三角形的应用 近 5 年 100% 必考中档解答题，固定第 18 题，分值 9 分，整套试卷稳定拿分大题 固定考查仰角、俯角、坡度、方位角四大实景模型；题干文字信息量大，核心是作高拆分双直角三角形；设问分层，第一问简单计算，第二问结合近似值求解实际高度 / 距离；套路标准化，建模是解题关键，极少复杂陷阱 考点01 已知正弦值求边长 1．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 考点02 已知余弦求边长 2．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 考点03 解直角三角形的相关计算 3．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． (3)或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，同理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 5．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 6．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)，． (2) ①，理由如下： 连接，    由对称性可得，， ∴， ② (3)或 【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论； ②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解； （3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解． 【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，．    （2）①略 ②连接分别交于两点，过点作，交于点，      由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，   ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ （3）解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点，    ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，，   ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则，    ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 7．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 8．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴，   即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 9．（2022·河南·中考真题）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】(1)或或或 (2)①15，15； ②，理由如下： (3)cm或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，sin∠BME= （2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ②略 （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 10．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 考点04 解直角三角形的应用 11．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 12．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 13．（2023·河南·中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 【答案】树的高度为 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 14．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 【答案】(1)证明：⊙O与水平地面相切于点C， ， ， ， AB与⊙O相切于点B， ， ， 过点作， ， ， ， 即∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)50 cm 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证； （2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点， ，则四边形是矩形， ， ， ， 在中， ，， （cm)， 在中，，cm， (cm)， (cm)， (cm)， cm， (cm)． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 15．（2022·河南·中考真题）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 【答案】拂云阁DC的高度约为32m 【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解． 【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形， 则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， (m)． 拂云阁DC的高度约为32m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·一模）如图1，在菱形中， 将沿直线向左平移，得到，O为的中点，连接，如图2，当时，的长为（     ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质求出的度数及的长，由平移性质知 ，，在中解直角三角形可求得的长，再根据O为中点建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， ∴， 如图：过点 C作 于 H，则，    在中，， ∴， 由平移可知：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·河南鹤壁·一模）规定：，，，．给出以下四个结论：①；② ；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题目给出的规定公式，逐一化简每个结论，即可判断出正确结论的个数． 【详解】解：① 由规定， 可得，故①正确； ② ， 根据， 可得，故②正确； ③ ， 根据，以及，， 可得： ，故③正确； ④ ， 根据， 代入得： ，故④正确； 综上，四个结论都正确，正确结论个数为． 3．（2026·河南郑州·一模）拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 4．（2026·河南南阳·一模）如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析当点P在点A处、点P到达边高（）的位置、点P到达点C处，P点的位置对应2个图中的位置关系，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点H， ①当点P在点A处时，即当时，， ②当点P到达边高（）的位置时，，此时最小，即， ③当时，点P对应图2末端时，即，则， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 综上所述，选项A、C、D正确，不合题意；选项B错误，符合题意． 故选：B． 5．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线，交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交轴于点，证明出，再由等角的三角函数值相等求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过点作交轴于点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·河南三门峡·二模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造含的直角三角形，利用勾股定理以及逆定理和正切的定义求解． 【详解】解：如图所示，连接小正方形对角线，设小正方形的边长为， ，，， ， ， ． 7．（2026·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过B作轴于D，根据坐标与图形、特殊角的三角函数值、菱形的性质求得，则菱形每旋转6次会回到原来的位置，，则点的坐标与点的坐标相同；如图，根据题意画图，可以发现点和点B关于y轴对称，即可确定，进而确定的坐标，即旋转2026次点的坐标． 【详解】解：如图：过B作轴于D， ∵，， ∴, ∴, ∴，即， ∵菱形， ∴， ∴, ∵把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转2026次点的坐标的坐标与点的坐标相同； 根据题意作图如下：可以发现点和点B关于y轴对称， ∵， ∴，即， ∴旋转2026次点的坐标为． 二、填空题 8．（2026·河南平顶山·一模）如图，是的弦，是的切线，与交于点D，与交于点E， ， 若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】如图：连接，根据对顶角相等求出，在中求出，利用等腰三角形性质求出，进而求出，根据切线性质得到，解直角三角形求出，最后利用即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（2026·河南南阳·一模）如图，，，，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】根据题意可得，继而可得，再分两种情况讨论，即或，利用相似三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】解：由翻折变换的性质，得， ， ， ， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①时，，解得， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的长为或． 10．（2026·河南平顶山·一模）已知为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则的大小为___________． 【答案】45 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，再结合题意可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程有相等的实数根， ， 即， 为锐角， ， 解得 ． 11．（2026·河南洛阳·一模）在四边形中， ，在四边形内部有一点，使得与均为直角三角形，则_____． 【答案】1或 【分析】如图1所示，过点和点分别作的垂线，垂足分别为，连接，可证明四边形是矩形，得到；解直角三角形求出的长，进而求出的长，则可证明，进而推出；再分图2，图3，图4三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：设， 如图1所示，过点和点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 如图2所示，当点E在上，且时，则与均为直角三角形， ， ， ， ； 如图3所示，当点 E在上，且时，则与均为直角三角形， 在中，， ， ， ； 如图4所示，当时，则与均为直角三角形， ， ， ； 综上所述，的值为1或． 12．（2026·河南驻马店·二模）线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点P和点B位于直线异侧，点P不在直线上，且，连接，若，，则______． 【答案】6或/或6 【分析】由旋转性质得到为等边三角形，结合已知条件推得，然后分两种情况作图，根据锐角三角函数以及勾股定理求解即可． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 是等边三角形 ①当中上的高在三角形内，过点作于点，过点作交延长线于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴； ②当中上的高在三角形外，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点在上，如图： ∴ ∵ ∴， 综上：的长度为或． 13．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径作弧交轴的正半轴于点，过点作轴的垂线交弧于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】由点坐标得圆半径与直角三角形边长，算出圆心角，再用扇形面积减直角三角形面积求出阴影面积． 【详解】解：连接, ∵点， ∴半径， ∵点，轴， ∴是直角三角形，， 由勾股定理：， 又， ∴ ∴扇形面积： 面积： ∵阴影面积扇形的面积 的面积． 14．（2026·河南商丘·二模）如图，在等腰中，， ，以点A为圆心，长为半径作弧经过点C，过点A作，分别与，边交于点D，E，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】过点作，由三线合一性质得，可得，即，再求出，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2026·河南三门峡·二模）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需．同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为，则这架无人机的飞行高度大约是____________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过A点作，垂足为H，过B点作垂直于过C点的水平线，垂足为D，先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：过A点作，垂足为H，过B点作垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图． 根据题意得，，，． 在中，，， ． ， ， ． 在中，，． 这架无人机的飞行高度大约是． 三、解答题 16．（2026·河南三门峡·一模）无人售货超市吸引了很多夜班族的光临．如图，小军在一家无人售货超市购物时站在点E处，此时距离小军最近的扫描支付摄像头在小军前方仰角的D处，这台摄像头处有其他顾客正在使用，小军打算去后方仰角的A处使用另外一个扫描支付摄像头．已知小军身高，摄像头D距离地面，两台摄像头的水平距离，求摄像头A距离地面的高度．(结果保留一位小数．参考数据：，，，) 【答案】摄像头A距离地面的高度为 【分析】由题意易得，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：摄像头A距离地面的高度为． 17．（2026·河南商丘·一模）为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶．如图，这是某小区地下停车库入口的设计示意图，延长，与交于点E，坡道的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) ，已知米，米． (1)请求出的长． (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志．根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值，即点 D 到的距离． (3)为保障安全，车辆顶部到车库顶部至少保留米的安全距离．现有一辆装满家具的小型货车，车装满家具后的高度为2米，通过计算判断这辆货车 (填“能”或“不能”)驶入该车库． 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 (3)能 【分析】（1）根据，得出，即，根据米，求出即可； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可； （3）根据（2）中结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； （3）解：∵， 这辆货车能驶入该车库． 18．（2026·河南信阳·二模）如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． (1)【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． (2)【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 【答案】(1)①；② (2) （1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是； (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴； （2）解：略 （3）解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中，， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中，， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 19．（2026·河南平顶山·一模）综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动．已知在矩形中，，点E在边上，点F在边上． 特例研究： (1)如图1，精英小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点恰好落在边的中点处，求的长． 探索发现： (2)如图2，光明小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点．恰好落在边上，连接，求 的值． 拓展延伸： (3)如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形沿进行折叠，得到 ，连接，点E是的中点，点F是边上的一个动点（不与的两个端点重合）．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）先由勾股定理求解，然后证明，即可在中求解； （3）分两种情况讨论，结合勾股定理以及折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∵点是中点， ∴ 设 由折叠可得， ∵ ∴ 解得 ∴的长为； （2）解：∵矩形中，,，， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴ （3）解：当时， ∴ ∴由折叠可得， ∵矩形中，，，，点E是的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴； ②当时， 由折叠可得， ∴ ∴点三点共线， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ \综上：的长为或． 20．（2026·河南平顶山·一模）某数学兴趣小组在户外开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量风力发电机舱的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．风力发电机舱在点A处，三片扇叶两两所成的角为α； 2．数学兴趣小组的同学在点 C 处安放测角仪； 3．测得扇叶的末端点 E的仰角为β； 4．测得点 C 离塔杆的距离的长 实验图示 测量数据 1．；2．；3．米，米 备注 1．测角仪高度米； 2．图上所有点均在同一平面内； 3． ，均与地面垂直； 4．参考数据： 请你根据以上实验过程和测量的数据，求风力发电机舱的高度（精确到0.1米）． 【答案】 【分析】过作于，过作于，先证明，四边形是矩形，得到，，，再根据，得到，，再在中，由得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于，过作于， 由题意可得，，，四边形是矩形， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 中， ∴， ∴， ∴（米）． 21．（2026·河南南阳·一模）综合与实践：确定河南油田钻井平台的3D打印模型的高度 项目提出：图1是河南油田的一个钻井平台．某中学的3D打印社团为展示油田文化，准备制作该钻井平台的3D打印模型，需要测量并计算该钻井平台的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表时间：2026年3月18日 项目分析： 1．活动目标：测量该钻井平台的实际高度并换算其3D打印模型的高度 2．测量工具：测角仪、皮尺 项目实施：任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图2所示的测量草图． 1．测出测角仪的高为． 2．利用测角仪测出钻井平台顶端的仰角． 3．测出测角仪底端处到钻井平台底端处之间的距离为． 项目结果：为社团制作钻井平台的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． (1)任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算该钻井平台的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） (2)任务三换算模型高度：将该钻井平台的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为__________．（结果精确到） 【答案】(1)解：由题意得为矩形， ，， 在中， ， ， 答：该钻井平台的高度为 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，解直角三角形求得，即可解答； （2）利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设3D打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：； 答：3D打印模型的高度约为19cm． 22．（2026·河南鹤壁·一模）长嘴壶茶艺是我国非物质文化遗产，以行云流水的技法展现传统茶文化魅力．如图①是某款长嘴壶的抽象示意图，水平桌面抽象为直线．已知壶身，且，，，且．壶嘴长，． （参考数据：，，，，，） (1)求所在直线与水平桌面的夹角度数． (2)如图②，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点转动壶身，当恰好倒出茶水时，，求此时点下落的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)cm 【分析】（1）延长交于点，分别过点、作，，垂足为、，先证明四边形是平行四边形，得到，cm，再证明，得到，最后在中，由 ，求得，从而求出结果； （2）分别过点E、F作直线l的垂线段、，证明四边形是平行四边形，，，，，在中求出，进而求出，再在如图3中，水平状态下，过点作于点Q，在中，求出，进而求出点F下落的高度． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 四边形是平行四边形， ，cm， ， cm， 在中，，由参考数据知， ， ， ， 所在直线与水平桌面的夹角度数约为． （2）解：如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）可知， cm， cm， cm， 在中，， ， cm， ， 如图3，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， ， 点下落的高度约为． 23．（2026·河南漯河·一模）周口弦歌台孔子雕像为花岗岩材质，是现代建造的纪念性雕像．某数学课外活动小组开展了“测量孔子雕像高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量孔子雕像高度 准备工具 测角仪、卷尺等 测量示意图    测量方案 活动小组在处测得孔子雕像顶端的仰角为，然后向孔子雕像处走了米到达处，并测得此时孔子雕像顶端的仰角为． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，两点间的距离 6.4米 6.6米 6.5米 备注 1．测角仪的高为1.4米；2．图上所有点均在同一竖直平面内；3．，，均与地面垂直．参考数据：，． 请你根据表中的信息求出孔子雕像的高度．（结果精确到1米） 【答案】米 【分析】延长交于点，构造直角三角形，在中，解直角三角形可表示出长，进而根据和差关系表示出长，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】如图，延长交于点． 设米． 在中，， ， 米， 米． 在中，， ， 解得， （米）． 答：孔子雕像的高度约为米． 24．（2026·河南平顶山·一模）开封市尉氏县兴国寺塔始建于北宋太平兴国年间（公元976年-984年），2006年5月25日尉氏兴国寺塔被国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．为了测量这座古塔的高度，小亮在水平开阔地面上选择点E，运用测角仪（测角仪与水平地面垂直，在点A处测得塔顶点C的仰角是，再向着古塔的方向前进20.80米到点F，在点F处运用测角仪测得塔顶点C的仰角恰是，如图所示．已知测角仪观测点到地面的高度是1.60米，运用以上数据，计算古塔的高度．（结果精确到．参考数据 ， ， ，，，，） 【答案】古塔的高度约为30.02米 【分析】延长交于点，可得四边形、四边形和四边形均为矩形，进而得出米，米，再解直角三角形可得，，然后根据米可得关于的方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：延长交于点， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 米，米． 在中，， ． 在中，， ． 米． ． 即． ， 化简得， 解得． 塔高（米）（米）． 答：古塔的高度约为30.02米． 25．（2026·河南平顶山·一模）夏季来临，小红想为自家房子安装遮阳棚（如图），侧面如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面的高度，遮阳棚与墙面的夹角．某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图），求此时遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长． （精确到．参考数据：，） 【答案】 【分析】先作辅助线，在中用三角函数求边长，进一步得到的长；再在中求，最后用减去得约，完成遮阳棚遮挡宽度的计算． 【详解】解： 过作于，延长交水平地面于，可得四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ，即， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 26．（2026·河南·一模）如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向．（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）过点作的垂线之后结合题目所给的参考数据用三角函数求出对应线段长度即可， （2）算出线段长，用路程除以速度算出时间，将总时间与比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， ， ， 由题意可得：， ， ， ， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． （2）根据题意可得， ， ， 派送员能在内到达驿站Q． 27．（2026·河南洛阳·一模）某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂的高度作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并制作了如下不完整的测量报告． 课题 测量学校礼堂的高度 方案 方案一 方案二 测量工具 标杆，平面镜，测角仪，皮尺 测角仪，皮尺 测量方案示意图 测量过程 王青在地面上处水平放置平面镜调整自己位置，站在处时，眼睛恰好在镜子中看到礼堂顶部，且点、、在同一水平线上，此时测得礼堂顶部的仰角为．测量及的长． 小方站在处，眼睛看礼堂顶部的仰角为，看礼堂底部的俯角为．测量的长． 数据记录 ． 结果 根据以上信息，解决下列问题． (1)请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂的高度（结果精确到．参考数据：）； (2)若方案二中测得，用含有的式子表示礼堂的高度为 ； (3)该小组根据方案二计算出礼堂的高度约为，若礼堂的实际高度为，请为该小组提供一条能使测量结果更准确的建议． 【答案】(1)礼堂的高度为； (2) (3)使用同一种方案测量3次以上，取平均值（言之有理即可）． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，利用角的正切值，得出，由反射可得，进而得到，，设，则，再利用角的正切值求解即可； （2）过点作于点，则四边形是矩形，得到，再在直角三角形中，利用角的正切值表示即可； （3）结合实验误差的处理方法——多次测量取平均值分析即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，， ，， 在中，， 由反射可知，， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 答：礼堂的高度为； （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ； （3）解：建议：使用同一种方案测量3次以上，取平均值． 28．（2026·河南南阳·一模）学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形知识求出该电子屏的高度．如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼的顶端即电子屏的上端点E的仰角为，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为、电子屏的下端点F的仰角为．已知点A，B，C，E，F在同一平面内，且A，B，C三点在一条直线上，求电子屏的高度（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】设，求出，列出等式解得，即可得到答案． 【详解】解：设， ． 在中，， ．                 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， 答：电子屏的高度约为米． 29．（2026·河南南阳·一模）计算与化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：                  ．                 （2）解：                                                    ． 30．（2026·河南安阳·一模）殷墟博物馆新馆是首个全景式展现商文明的国家重大考古专题博物馆．某校数学兴趣小组开展“测量殷墟博物馆新馆主体建筑高度”的综合实践活动．如图，测量小组在博物馆正前方的水平地面上选取了，两点（点，，在同一直线上），用高为米的测角仪进行测量．在处测得博物馆顶端的仰角为，然后沿方向前进米到达处，在处测得顶端的仰角为． (1)求博物馆主体建筑的高度（参考数据：，，，，，）． (2)查阅资料得知，殷墟博物馆新馆主体建筑实际高度的参考值约为22米．请计算本次测量的相对偏差（相对偏差），并分析产生偏差的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)，产生偏差的可能是测量的误差，包括距离的测量和仰角的测量误差，且在计算时进行四舍五入取近似数，也是导致偏差的原因之一 【分析】（1）延长交于点，则，设，则在中，，在中，，根据，得到，求解即可解答； （2）根据相对偏差的计算公式计算即可． 【详解】（1）解∶延长交于点，由题意知，． 设， ∵在中，， ． ∵在中，， ． ， ，即． 解得． ． 答：博物馆主体建筑的高度约为． （2）解：相对偏差为． 产生偏差的可能是测量的误差，包括距离测量和仰角测量的误差，且在计算时进行四舍五入取近似数，也是导致偏差的原因之一． 31．（2026·河南周口·一模）如图，为测量河宽，在河岸边取一点C，测得，沿方向前进60米到达点D，测得，求河宽（结果保留根号）． 【答案】 【分析】设米，解直角三角形可得米，米，根据米，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设米， 由题意得，， 在中，米， 在中，米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：河宽为米． 32．（2026·河南商丘·一模）信阳是全国宜居城市，有“江南北国，北国江南”之称．这里青山常绿，绿水长流，茶香四溢，到处充满诗情画意．茗阳阁（如图）是信阳八景之一，它坐落在风景秀丽的浉河之畔，某校数学社团决定利用周末时间开展一次“测量茗阳阁的高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.01米） 课题：测量茗阳阁的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量工具 卷尺、测角仪 卷尺、平面镜 测量示意图       测量方案与测量数据 先在点处在距离地面的点用测角仪测出塔顶端的仰角，再沿水平方向前进后到达处，在距离地面的点测得塔顶端的仰角 在处放一面镜子，小明在处通过镜子反射刚好看到塔的顶端，测得身高的小明到平面镜的距离 参考数据 ，，    (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为__________（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题； (2)请根据正确的测量报告计算出茗阳阁的高度； (3)“官方”显示，茗阳阁的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1)乙组 (2)茗阳阁的高度为 (3)误差为，建议多次测量求平均值（答案不唯一） 【分析】（1）乙组只有两个数据，无法完成测量，故乙组的测量报告存在问题； （2）设的延长线交于点，则，设，易得，，利用，求出的值，利用，即可得解； （3）建议多次测量，求平均值． 【详解】（1）解：因为乙组只有两个数据，根据这两个数据可以求出光线与镜面的夹角， 故在直角三角形中只能知道一个锐角，一个元素无法求出直角三角形的其他元素，故乙组的测量报告存在问题； （2）解：如图，设的延长线交于点，则， 由题意，得，，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， 解得， ， ； （3）解：误差为， 建议：多次测量求平均值．（答案不唯一） 33．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数） 【答案】古树的高度为米 【分析】设米，根据题意可得米，米，再根据的正切值，列方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知，米，，，， 则是等腰直角三角形，因此， 设米，则米，米， 在中：，即， 则，解得， 答：古树的高度约为米． 34．（2026·河南周口·一模）计算： 【答案】 4 【详解】解：原式． 35．（2026·河南周口·一模）计算及化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再合并同类项即可得到结果； （2）先计算括号内的通分运算，将除法转化为乘法，对二次多项式因式分解后约分，即可得到化简结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 36．（2026·河南南阳·一模）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处；丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角． 说明 点在同一水平直线上，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1) 如图，点即为所求． (2)这棵大树的高度约10.0米 【分析】（1）在的左侧作，交于点，则点即为所求； （2）延长交于点，则米．由（1）知，可得，则，进而可得，设米，则米，米，米，在中，，求出x的值，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，四边形是矩形，米， 由（1）知，， ， ， ，， 设米，则米， 米，米， 在中，， 解得， 米． 答：这棵大树的高度约10.0米． 37．（2026·河南周口·一模）计算、化简 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算各项的值，再进行加减运算． （2）先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分化简． 【详解】（1）解: ． （2）解: ． 38．（2026·河南濮阳·一模）问题提出 濮阳被誉为“中华龙乡”，数学兴趣小组的同学们到濮阳龙碑（如图1所示）进行研学活动，龙碑由碑身及基座（底座与台阶）组成，他们想知道碑身的高度． 数据收集 如图2，小明在广场水平面的点处测得碑顶的仰角为，向水平方向前进7.25米到达点，测得碑顶的仰角为．已知测角仪到水平面的距离为1.66米，点，，在同一直线上，交直线于点，龙碑基座（底座与台阶）的高约为6.97米． 数据应用 (1)请根据以上数据，计算碑身的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，）． (2)查阅资料显示碑身的高度为13.0米．若测量的相对误差不超过，即测量合理．请你通过计算说明兴趣小组的这次测量是否合理？若不合理，请给出一条能够减少相对误差的建议（相对误差）． 【答案】(1)11.6米 (2)不合理，建议：多次测量求平均值或使用更精密的仪器（答案不唯一，合理就行） 【分析】（1）延长，交于点C，由题意易得四边形是矩形，则有米，设米，则有米，然后可得米，进而根据三角函数可进行求解； （2）先得出相对误差的值，然后合理说明即可． 【详解】（1）解：延长，交于点C，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴米， 设米，则有米， ∵，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 答：碑身的高度为11.6米． （2）解：由题意得： 相对误差， ∴兴趣小组的这次测量不合理； 建议：多次测量求平均值或使用更精密的仪器（答案不唯一，合理就行）． 39．（2026·河南三门峡·一模）计算 (1)计算：． (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式， ， ， ． （2）解：， ①+②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 40．（2026·河南周口·一模）项目式学习 拂云阁是开封清明上河园内的标志性仿宋建筑，造型优雅，阁高入云．某数学兴趣小组用自制的测角仪开展了一次测量拂云阁高度的项目式学习活动，测量报告如下： 课题 测量拂云阁的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪等 自制测角仪的使用方法 利用量角器和铅锤自制如图1所示的简易测角仪，使用过程如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线在同一直线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 测量过程 如图3，小聪利用上述工具测量拂云阁的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走站在点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．已知小聪的眼睛到水平地面的距离为 （图中点在同一条水平直线上，点均在同一平面内，，） 参考数据 问题解决 求拂云阁的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】延长交于，设，则，由等腰三角形性质得，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：延长交于， ，，， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， 即， 解得， （）； 答：拂云阁的高度． 41．（2026·河南开封·一模）为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． (1)求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； (2)求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点,根据求解； （2）过点作于点,根据，然后根据矩形的性质可得的长度，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点, ∴, 在中， , ∴遮阳篷边缘点到墙体的水平距离米， （2）解：过点作于点, 在中， , ∵, ∴四边形是矩形， ∴,, 在中， , ∴, ∴阴影的长为米． 42．（2026·河南焦作·一模）特殊化策略是借助特殊情形下获得的结论或方法来解决一般性问题，是一种常用的解题策略．学校数学兴趣小组在探究如图1中和的大小关系时就用到了这种策略． 如图1，在中，，，点是直线上任意一点，连接，以为边作等边三角形（图中点，，始终为顺时针顺序），连接． (1)问题特殊化 请在图2中补全点和点重合时的图形． 当点和点重合时，和的数量关系是 ，和的数量关系是 ． (2)探究问题 当点和点不重合时，上述关系还成立吗？请就图1的情况说明理由． (3)拓展延伸 如图3，连接，若，当是等腰直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)图形补全如下： ， (2)解：仍成立，理由如下： 如图，作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）按要求作图，根据直角三角形的性质求出结论； （2）作于点，容易证明，则，进而可证明，则； （3）分三种情况讨论，当点在线段上时，作于点，由可知，点、在以为直径的圆上，则，利用三角函数和勾股定理计算出，，则；当点在的延长线上时，不存在是等腰直角三角形，故舍去；点在的延长线上时，作，交的延长线于点，同样可计算出，，则． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵点和点重合， ∴点在边上，且， ∴点为斜边的中点， ∴； （2）略 （3）解：①当点在线段上时，如图，作于点， ∵是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∴点、在以为直径的圆上， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，，， 在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， ∵，即， 又∵， ∴是锐角三角形，与是等腰直角三角形矛盾，故舍去； ③当点在的延长线上时，如图，作，交的延长线于点， 同理①可得，，， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或． 43．（2026·河南平顶山·二模）按要求完成各题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．（2026·河南周口·二模）如图，一架无人机在点处悬停，地面上，两点在同一直线上，米．测得从观察无人机的仰角为，从B观察无人机的仰角为．已知垂足在线段上，求无人机距离地面的高度． 【答案】无人机距离地面的高度为米． 【分析】在中，，在中，，然后通过即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：无人机距离地面的高度为米． 45．（2026·河南平顶山·二模）如图，某人在山坡坡脚处测得一建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处又测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且三点在同一条直线上，山坡坡度． (1)求此人所在位置点的铅直高度（结果精确到0.1米）； (2)求此人从所在位置点走到建筑物底部点的路程（结果精确到0.1米）． （测倾器的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，于点．解，，根据山坡坡度，设米，则米．分别求得，，即可求解． （2）勾股定理求得，根据题意求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，于点． 设米，则米． 在中，，米， 则， 米． 在中，， 则， 解得， ． 故此人所在位置点的铅直高度约是14.3米； （2）由（1）可得，在中，， （米）． 故此人从所在位置点走到建筑物底部点的路程约是米． 46．（2026·河南驻马店·二模）学校数学兴趣小组利用所学的数学知识对大树的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案． 活动内容 测量大树的高度 工具 测角仪，皮尺 组别 甲 乙 测量示意图 测量方案 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度． 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度，面向大树前进，测量眼睛E看大树顶端A的仰角，测量眼睛E距离水平地面的高度，用皮尺测得的长度． 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D． 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D，于点F． 测量数据 ， ，，， 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： (1)你认为哪个组的测量方案不够完整？请指出并将方案补充完整． (2)根据表中测量方案完整的小组测量出的数据，计算大树的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲组的测量方案不够完整，还需要测量出的距离 (2)大树的高度约为 【分析】（1）甲组的测量方案不够完整，还需要测量出的距离； （2）延长交于点G，则四边形与四边形都是矩形，根据三角函数表示出，，列方程求出x的值，设，进而可知大树的高度． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，延长交于点G，则四边形与四边形都是矩形， ，． 设， ， ，， ，， ， 解得， ， （）， 大树的高度约为． 47．（2026·河南平顶山·二模）随着人民群众生活水平的提高，高层住宅越来越多，高层建筑的消防安全问题越来越受到人民群众的关注．某公司开发出新型高层建筑消防安全救援逃生系统，如图，为高层建筑，为消防安全救援逃生通道，小明为了测量建筑物的高度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进32米到达处，测得楼顶点的仰角为．已知． 请根据以上数据求建筑物的高度（测角仪的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据） 【答案】米． 【分析】设米，在中解直角三角形可得，利用等腰直角三角形的性质可得，即，解得，最后求出的值即可解答． 【详解】解：设米． 在中，， ， ． 在中，． ， ， ，解得：， 米． 48．（2026·河南平顶山·二模）如图，在数学室外活动课上，小红测得身高1.4米的小丽在地面l上的影长为2米．同一时刻，小明发现国旗旗杆在太阳光照射下，一部分影子在地面l上，一部分影子在教学楼墙上．小丽、旗杆、教学楼均与地面垂直． (1)求太阳光线与地面的夹角的度数． (2)小明测得米，米．求国旗旗杆的高度． （结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】(1) (2)国旗旗杆的高度约为12.8米 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点F作交于点H．由题意易得四边形为平行四边形，则有米，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ． ∵在中，米，米， ， 的度数约为． （2）解：如图，过点F作交于点H． ，， ， 四边形为平行四边形． 米． ∵太阳光线是平行的，即， ． ． ∵在中，米， ，即， 米． （米）． 答：国旗旗杆的高度约为12.8米． 49．（2026·河南平顶山·二模）鸡公山，位于河南省信阳市境内，是大别山的支脉，中国四大避暑胜地之一．其主峰巨石状如引颈高啼的雄鸡，故名“报晓峰”，海拔约米，是鸡公山的象征，素有“气压嵩衡”之美誉．这里奇峰怪石、云海霞光，风景秀丽．某校数学兴趣小组前往鸡公山进行实地测量实践活动，记录如下： 活动主题 测量“报晓峰”的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，小明想测山高和索道的长度，他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 （小明的身高忽略不计）． 参考数据      备注 点，，在同一水平线上 根据以上信息，求“报晓峰”的高度． 【答案】米． 【分析】过点作，垂足为，设高米，在中， ，所以，在中，，，所以，然后解方程并检验即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 设高米， 在中，，， ∴ ， ∴， 在中，，， ∴，解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：“报晓峰”的高度约为米． 50．（2026·河南新乡·二模）带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆与地面平行，框架与横杆的夹角，框架与把手（与地面平行）的夹角．已知长为，长为，点和点是车轮的圆心，车轮的半径为．求把手到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】连接，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，把手到地面的高度等于车轮半径，利用三角函数分别求出，即可求出把手到地面的高度． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点， 由题意得， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵，车轮半径为， ∴． 答：把手到地面的高度约为． 51．（2026·河南平顶山·二模）计算、解方程组： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，再计算绝对值，最后进行实数的混合运算即可． （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，得 ， 解得， 将代入②，得 ， ， ∴原方程组的解为． 52．（2026·河南三门峡·二模）利用方格纸可以非常方便地画出一些长为无理数的线段，也可以很容易地求出一些角度的三角函数值．已知每个小方格的边长都是1，每条线段的两个端点都在格点上，请解答下列问题． (1)图1中，____________． (2)在图2中画出一个，使得． (3)在图3中，画出满足下列条件的矩形． ①四个顶点都是格点；②面积为10；③矩形的边长都是无理数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据小方格计算的值，再利用勾股定理逆定理得到，在直角三角形中直接计算； （2）利用小方格找到直角边分别为2和3的直角三角形，顶角即为所求的； （3）根据面积和边长为无理数的信息，找到一组矩形的边长，再利用小方格画图即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，． ， 是直角三角形，且， ． （2）略 （3）解：， 矩形的两邻边的边长是和． 图略 53．（2026·河南平顶山·二模）计算，解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、负整数次幂、绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 不等式组的解集为． 54．（2026·河南周口·二模）数学"综合与实践"小组的同学想测量校园内一棵大树的高度．他们制定了如下测量方案： 课题测量善济塔的高度 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的B处测得塔顶A的仰角为，向前走12米到达点D处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪（）的高度为2米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶A的仰角为，测得塔底端B处的俯角为，高台的高度为2米，测角仪的高度为2米 参考数据： ， ， ，， ，， ， ． 说明：所有的点均在同一平面内． (1)请判断上述哪种方案的误差较小； (2)请你帮小组的同学求出善济塔的高度．（结果精确到0.1） 【答案】(1)方案一 (2)24.3米 【分析】（1）分析两个方案的测量步骤，判断方案中需要测量的未知量个数，结合实际测量的误差来源，比较哪个方案的测量误差更小． （2）选择误差较小的方案一，过测角仪顶部向塔作水平线，构造直角三角形，将塔的总高度拆分为测角仪高度与直角三角形中仰角对边的长度之和． 设塔在测角仪水平线上方的高度为未知数，结合已知的两个仰角、水平移动的距离，利用锐角三角函数的正切定义，分别表示出两个直角三角形的水平直角边，根据两条水平直角边的差等于移动距离列方程，求解未知数后加上测角仪高度得到塔的总高度．方案二，过点E作于点F，由，得，代入，，得，由，即得．计算结果约为13．2米，取误差更小，最终结果取24．3米． 【详解】（1）解：方案一误差更小，理由：方案一所有测量都在同一水平面完成，测量长度、角度都是直接测量，测量步骤少，累积误差小于方案二（方案二需要额外测量高台高度，累积误差更大）． （2）解：方案一：设塔顶到测角仪所在水平线的垂直高度米： ∵在B处测得仰角为， ∴水平距离米； ∵两次测角仪的水平距离米， ∴D处测角仪到塔的水平距离米； 在中，仰角为， 由三角函数得：， 代入得：， 解得米． ∵测角仪高度为2米， ∴善济塔总高度为米． 方案二： 过点E作于点F，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 计算结果约为13.2米，但由于方案一误差更小，最终结果取24.3米． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $