1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解空间中的点与空间向量的关系． 2．理解直线的方向向量．(重点) 3．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．(重点、难点) 4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点) 5．理解公垂线段的概念并会求其长度． 1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养． 2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养． 在如图所示的正方体中，怎样借助空间向量来描述A、B、C、D在空间中是不同的点？如何借助空间向量来描述直线AD与A1D1，AD与BB1以及AD与AA1的位置关系？怎样借助空间向量来求BC1与BD1所成的角？ 1．空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量通常称为点P的位置向量． 唯一确定，此时， 提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定． 2．空间中的直线与空间向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量． 思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ [提示]　直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个向量都平行． 思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？ [提示]　空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． 3．空间中两条直线所成的角 (1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． (2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0． 4．异面直线与空间向量 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面． 提醒：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面，则l1与l2异面． 不共面．若v1，v2， 提醒：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的． (　　) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． (　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× [提示]　(1)×　与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量． (2)√ (3)×　k≠0． 2．(教材P36练习A①改编)设A(2,2,3)，B(4,0,1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,5)　　　　　　　 B．(3，－2，－2) C．(1，－1，－1) D．(－1,1，－1) C　[＝(4,0,1)－(2,2,3)＝(2，－2，－2)＝2(1，－1，－1)，故选C．] 3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A．－ B． C．－ D． B　[∵|a|＝，a·b＝(0，－2，－1)·(2,0,4)＝－4，，|b|＝2 ∴cos〈a，b〉＝．＝－ ∵异面直线夹角的范围是，∴选B．] 4．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,2)，v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，则m等于________． 　[因为l1∥l2，所以存在实数λ，使v1＝λv2． 即(3,0,2)＝λ(1,0，m)，∴．]∴m＝ 空间中点的位置确定 【例1】　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若)，求P点的坐标； －(＝