1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点) 2．掌握空间向量的坐标运算．(重点) 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点) 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用． 1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养． 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示． 1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． 2．空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4)|a|＝； ＝ (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝． ＝ 思考2：若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔． ＝＝，若a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔ (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 4．空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． (6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}． 5．空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同． (　　) (2)若a·b＝0，则a⊥b． (　　) (3)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)． (　　) (4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a,0，c)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ [提示]　(2)×　a＝0或b＝0时，a与b不垂直． (3)×　坐标应为(a,0,0)． 2．(教材P19例2改编)已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4)