1.1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.1.2　空间向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解空间向量基本定理．(重点) 2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．(难点) 3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点) 1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养． 2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养． 图中的向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？是不共面的三个向量，请问向量，， 1．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ [提示]　平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． 2．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 3．相关概念 (1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底． (3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． (4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ [提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． 思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ [提示]　基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量． 4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面． ＋z＋y＝x 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底． (　　) (2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面． (　　) (3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)√　{a，b，c}为空间一个基底，则a，b，c不共面，－a、b、2c也不共面，故{－a，b,2c}也构成空间一个基底． (2)√　由共面定理知(2)正确． (3)×　由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成基底． 2．(教材P16练习A①改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是(　　) A．共面向量　　　　　　 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 A　[根据共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．] 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， C　[由题意知不共面，可以作为空间向量的一个基底．]，， 向量共线问题 【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且．求证：E，F，B三点共线． ＝，F在对角线A1C上，且＝2 [证明]　设＝c．＝b，＝a， ∵，＝，＝2 ∴，＝，＝ ∴)－(＝b，＝＝ ＝)－＋( ＝c．b－a＋ ∴．c＝b－a－＝－＝ 又b－c，b－c＋a＝a－＝－＋＋＝ ∴．＝ ∴E，F，B三点共线． 判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线. 1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断是否共线？ 与 [解]　共线，证明：∵M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．与 ∴，＋＋＝＋＋＝ 又，－－＋＝－＋＋＋＝ ∴，－－＋＝－＋＋ ∴，)＝2＋＋＝2(＋＋2＝ ∴共线．与，即∥ 共面定理及应用 【例2】　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足． ＋＋＝ (1)判断三个向量是否共面； ，， (2)判断点M是否在平面ABC内． [解]　(1)易知，＝3＋＋ ∴)，－)＋(－＝(－ ∴，－＝－＋＝ ∴向量共面．