1.1.1 空间向量及其运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 　 图1　　　　　　　图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为|． ，模为| ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示]　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝a－b． －＝＝a＋b，＋＝ (2)如图2，． ＝＋＋ 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． (2)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b． (3)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0； ②a·a＝|a|2＝a2； ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)； ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小． (　　) (2)两个相反向量的和为零向量． (　　) (3)只有零向量的模等于0． (　　) (4)空间中任意两个单位向量必相等． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× [提示]　大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等． 2．下列命题中正确的是(　　) A．(a·b)2＝a2·b2 B．|a·b|≤|a||b| C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0 B　[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2， ∴左边≤右边，故A错误． 对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误． 在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误． 对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1， ∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．] 3．(教材P11练习A②改编)化简： (1)＝________； (a＋2b－3c)＋5 (2)()＝________． －)－(－