2.4 曲线与方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.4　曲线与方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点) 3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法． 4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤． 5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点) 6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质． 1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养． 2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养． 4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养． 我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用． 1．曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式． 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线． 思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明． [提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆． 思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ [提示]　若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0． 2．两条曲线的交点坐标 曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解． 3．解析几何研究的主要问题 (1)由曲线求它的方程． (2)利用方程研究曲线的性质． 4．求曲线的方程的步骤 5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法 (1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性 设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律： ①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称； ②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称； ③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称． 另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称． (2)根据曲线的方程画曲线 ①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图象的方法画出图形． ②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符． ③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程． (　　) (2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程． (　　) (3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样． (　　) (4)求轨迹方程就是求轨迹． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× [提示]　(1)×　曲线的方程必须满足两个条件． (2)×　以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段AB上． (3)√　对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样． (4)×　求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形． 2．点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为(　　) A．1或－5　　　　　　　 B．－1