2.3.4 圆与圆的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.3.4　圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点) 2．了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(重点) 3．掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(难点) 1．通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象的核心素养． 2．借助圆与圆的位置关系的判断，培养数学运算的核心素养． 奥运五环象征着什么？圆与圆的位置关系有哪些？ 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如表： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 思考：用代数法消元后若Δ＜0成立，是否两圆相离？ [提示]　相离或内含． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)错误，还可能是内切． (2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值． (3)错误，在相交的情况才是． 2．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0和x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的位置关系是(　　) A．外离　　　　　　　　 B．外切 C．相交 D．内切 B　[两圆的圆心分别为(2,3)，(－6，－3)，半径分别为2,8．所以两圆的圆心距d＝＝10，∴10＝2＋8，即d＝r1＋r2．] 3．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是(　　) A．　　　　　　　 B．5 C． D．2 C　[∵两圆外切， ∴圆心距d＝＝2r， 解得r＝．] 4．已知两圆x2＋y2＋4x＋6y＋10＝0与x2＋y2－2x＋8y＋6＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 3x－y＋2＝0　[两圆的方程相减得6x－2y＋4＝0，即3x－y＋2＝0．] 圆与圆位置关系的判定 【例1】　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0． (1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？ (2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？ [思路探究]　本题主要考查两圆的位置关系，关键将圆的方程表示为标准方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可． [解]　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4． ∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝． (1)若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|＝r1＋r2， 即＝5． 解得m＝－5或m＝2． (2)若圆C1与圆C2内含，则0≤|C1C2|＜|r2－r1|＝1， 即＜1． 解得－2＜m＜－1． 1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切？ [解]　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k． 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5． 当1＋＝5，k＝34时，两圆外切． 当|＝6，k＝14时，两圆内切．－1|＝5， 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 两圆相交的有关问题 【例2】　已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长． [思路探究]　本题主要考查两圆的相交弦问题，关键是要寻找关于弦AB的相交量