2.3.2 圆的一般方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.3.2　圆的一般方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点) 1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养． 在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题． 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为． ，半径长为 3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以 为圆心， 以 为半径的圆 思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？ [提示]　圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． 思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ [提示]　只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了． 思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？ [提示]　不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为的圆． (　　) ，半径为 (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　) ＋y [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ [提示]　(1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<时才表示圆． (4)正确．因为点M(x0，y0)在圆外，所以＋Dx0＋Ey0＋F>0． ＋y，即x>＋ 2．(教材P104练习A①改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) D　[圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．] 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝ ． 4　[以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16．即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4．] 4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为 ． x2＋y2－3x－4y＝0　[该圆的圆心为．＋(y－2)2＝，故其标准方程为，半径为 化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．] 圆的一般方程的概念 【例1】　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． [解]　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， 由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1． (2)∵r＝＋\f(16,7))，＝ ∵，∈ ∴当t＝．时，圆的面积最大，rmax＝ 所对应的圆的方程为．＝＋ (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜． 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1(由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆. (2(将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y