2.3.1 圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(重点) 4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养． 我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？ 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径． 2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程． 3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r 思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？ [提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． (　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　) (3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× [提示]　(1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当m＝0时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3． 2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2　 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 C　[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．] 3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 A　[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．] 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ． x2＋(y－2)2＝1　[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．] 直接法求圆的标准方程 【例1】　根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)； (2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上． [思路探究]　只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程． [解]　(1)所求圆的半径r＝|CA|＝ ＝5． 又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25． (2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13． ＝ 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程． [解]　设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25． 待定系数法求圆的标准方程 【例2】　求下列各圆的标准方程． (1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)； (2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)． [思路探究]　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数． [解]　(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r