2.2.3 两条直线的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.2.3　两条直线的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点) 3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点) 1．通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养． 2．借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养． 过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？ 1．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交⇔k1≠k2； ②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1． ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得 思考：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？ [提示]　平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2． 2．两条直线垂直 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． (　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2． (　　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． (　　) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× [提示]　(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确． 2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为(　　) A．－3　　　B．3　　　C．－　　　D． B　[因为k＝kAB＝＝3，所以l的斜率为3．] 3．直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根，则l1与l2的位置关系为 ． 垂直　[由题意知一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根x1·x2＝－1， ∴直线l1、l2的斜率之积k1k2＝－1，∴直线l1⊥l2．] 4．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则a＝ ． －．]　[因为直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，所以1×(－1)－2a＝0，解得a＝－ 5．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a＝ ． －6　[由题意知＝－1，所以a＝－6．] 两条直线相交、平行、重合的判定 【例1】　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． [思路探究]　可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值． [解]　∵直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m． (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1． 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有 即即 即 ∴m＝－1． 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有 即 ∴∴m＝3． 故当m＝3时，直线l1与l2重合． 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系