2.2.2 直线的方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.2.2　直线的方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点) 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点) 3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点) 1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？ 1．直线的点斜式方程与斜截式方程 在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程． (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0． (2)直线的点斜式方程： 若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程． 思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？ [提示]　直线l的斜率k存在． (3)直线的斜截式方程 当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程． 思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？ [提示]　直线既不与x轴重合也不与y轴重合． 2．直线的两点式方程与截距式方程 (1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程． ＝ (2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程＝1称为直线的截距式方程． ＋ 思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？ [提示]　两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点． 3．直线的一般式方程 直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)． (　　) (2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3． (　　) (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． (　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ [提示]　(1)由点斜式方程的形式知正确． (2)由斜截式方程的形式知正确． (3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误． (4)正确． 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 C　[方程变形为y＋2＝－(x＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．] 3．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为 ． 3x－2y＋1＝0　[由直线的两点式方程，得，化简得3x－2y＋1＝0．]＝ 4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为 ． x＋y＋1＝0　[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．] 求直线的点斜式方程 【例1】　写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． [解]　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2． (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1． 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1． (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． 1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． 2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 1．求满足