2.1 坐标法-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.1　坐标法 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解平面直角坐标系中的基本公式．(重点) 2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用．(重点、难点) 1．通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养． 2．借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养． 小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，利用数轴上两点间的距离公式来求解． 1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量． ．数轴上的中点坐标公式x＝＝|＝|x2－x1|．如果M(x)是线段AB的中点，则的坐标为x2－x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|＝| 思考：数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ [提示]　给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的． (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，． ，y＝，则直角坐标系内的中点坐标公式x＝＝，若M(x，y)是线段AB的中点，则|＝＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝| 2．坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应． (　　) (2)数轴上起点相同的向量方向相同． (　　) (3)点M(x)位于点N(2x)的左侧． (　　) (4)数轴上等长的向量是相等的向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× [提示]　(1)×　与有序实数对一一对应． (2)×　终点不一定相同． (3)×　x与2x的大小无法确定． (4)×　方向不一定相同． 2．(教材P69习题2－1A①改编)已知数轴上A(－3)，B(8)，则A，B两点间的距离为(　　) A．3　　　B．8　　　C．11　　　D．5 C　[|AB|＝|8－(－3)|＝11．] 3．已知A(1,2)，B(2,6)，则AB的中点坐标为________． ．]＝4，∴中点坐标为，y＝＝　[设AB的中点为M(x，y)，则x＝ 4．已知A(2,4)，B(－1,3)，则A，B两点间的距离为________． ．]＝　[|AB|＝ 数轴上的点与实数间的关系 【例1】　(1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围； (2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系． [解]　(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3． (2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合． 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标. 1．不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： (1)A(－3．2)，B(－2．3)； (2)A(m)，B(m2＋1)； (3)A(|a|)，B(a)． [解]　(1)因为－2．3>－3．2，所以A(－3．2)位于B(－2．3)的左侧． (2)因为m2＋1－m＝>0，≥＋ 所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧． (3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点． 当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧． 数轴上两点间的距离 [探究问题] 1．如果两点的位置不确定，如何求其距离？ [提示]　分类讨论． 2．向量的长度及数量的区别与联系． [提示]　|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|， AB＝xB－xA． 【例2】　已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x． 当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x． [思路探究]　数轴上两点间的距离⇒点与实数的对应关系⇒数轴上的基本公式． [解]　由题意知 |PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|， 则3(x＋1)＝x－3，① 或3(x＋1)＝－(x－3)．② 解①得x＝－3；解②得x＝0． 所以点P的坐标为－3或0． 1．本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？ [解]　由题意知|PA|＝|PB|＝2， 即解得x＝1． 此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点． 2．本例中在线段AB上是否存在点P(