1.2.4 二面角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.2.4　二面角 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点) 2．掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) 1．通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养． 2．借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养． 同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？ 我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题． 1．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． 思考：如何找二面角的平面角？ [提示]　(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角． (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致． 2．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是． (　　) (2)若二面角α­l­β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等． (　　) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ [提示]　(1)×　不是．是[0，π]． (2)×　不一定．可能相等，也可能互补． (3)√ 2．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A1­BC­A的余弦值为(　　) A．　　　　D．　　　　C．　　　　B． C　[易知∠A1BA为二面角A1 ­BC­A的平面角， cos∠A1BA＝．]＝ 3．已知二面角α­l­β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α­l­β的大小可能为________． 60°或120°　[cos〈m，n〉＝，＝－＝ ∴〈m，n〉＝120°， ∴二面角α­l­β的大小为60°或120°．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A1­BD­C1的余弦值是________． 　[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，＝(1,1,0)．＝(1,0,1)， 设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量， 则 即 令x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1,1)， 则cos〈m，n〉＝，＝ 所以二面角A1­BD­C1的余弦值为．] 用定义法求二面角 【例1】　如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P­AC­B的正弦值． [解]　如图，取AC的中点D，连接OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D为AC的中点， ∴OD⊥AC， 又PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面POD，则AC⊥PD， ∴∠PDO为二面角P­AC­B的平面角． ∵△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB， ∴PO＝，，OA＝OC＝1，OD＝ 则PD＝．)＝ ∴sin∠PDO＝，＝＝ ∴二面角P­AC­B的正弦值为． 用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． 1．已知