1.2.3 直线与平面的夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.2.3　直线与平面的夹角 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性． 2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点) 　通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养． 倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？ 1．直线和平面所成的角 2．最小角定理 3．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|． －〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－ 思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ [提示]　不是．直线和平面的夹角为． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　　) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． (　　) (3)斜线与平面的夹角为[0,90°]． (　　) (4)直线与平面的夹角为[0,90°]． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [提示]　(1)×　错误，角的度数还可以是零度． (2)√　根据线面角的定义知正确． (3)×　斜线与平面的夹角为(0,90°)． (4)√　正确． 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 C　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．] 3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为________． 60°　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．] 4．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________． 30°　[如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C， 所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角， 设正方体的棱长为1，则OB1＝，，CB1＝ sin∠B1CO＝，可得∠B1CO＝30°．＝ 即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．] 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 【例1】　∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． [思路探究]　根据定义或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解． [解]　法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴AB＝AC＝a． 又∵BC＝a， ∴AB2＋AC2＝BC2． ∴△ABC为等腰直角三角形． 同理△BOC也为等腰直角三角形． 取BC中点为H，连接AH，OH， ∴AH＝a，AO＝a，a，OH＝ AH2＋OH2＝AO2． ∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH． 又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H， ∴AH⊥平面α． ∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角． 在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝．＝ ∴∠AOH＝45°． ∴OA与平面α所成的角为45°． 法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H． 又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°． 故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2， 得cos∠AOH＝，＝ ∴OA与平面α所成的角为45°． 求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法． 1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ． [解]　由题意得∠CBD＝45°， ∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ． ∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°． 即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°． 用定义法解决直线与平面的夹角问题 [探究问