1.2.2 空间中的平面与空间向量-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

1.2.2　空间中的平面与空间向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点) 2．会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点) 1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养． 2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 如图，在直棱柱ABC­A1B1C1中， (1)与哪些棱平行的向量与平面ABC平行，这些向量是否两两互相平行？ (2)与哪些棱平行的向量与平面ABC垂直，这些向量是否两两相互平行？ 空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？由于垂直于同一个平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的方向向量来刻画平面的“方向”． 1．平面的法向量 (1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？ [提示]　无数个　平行 思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ [提示]　垂直 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 一定与向量n垂直，即n· (3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． (4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量． (　　) (2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直． (　　) (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ [提示]　(1)×　不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量． (2)×　不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l． (3)√ 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　[∵a＝(1,0,2)，u＝－2(1,0,2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．] 3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 C　[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．] 4．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________． 4　[因为α∥β，∴两平面的法向量平行，∴，∴k＝4．]＝＝ 求平面的法向量 【例1】　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． [解]　∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝， ∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，C(1，，0)， D(0，，，0)，P(0,0,1)，E ，0)，＝(1，，＝ 设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)， 则，3)．，得n＝(3，－取y＝－ ∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)． 利用待定系数法求法向量的解题步骤 1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2A