1.4.1 第2课时 空间向量与垂直关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　空间向量与垂直关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点) 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点) 　借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题． 1．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 2．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？ [提示]　垂直． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一个平面的法向量均为共线向量． (　　) (2)若a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量． (　　) (3)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0. (　　) [提示]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 B　[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则，解得t＝－4，故选B.]＝＝ 3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______． l1⊥l2　[＝1×1－3×1＋2×1＝0，＝(1，－1,1)，u1· 因此l1⊥l2.] 4．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是________． 垂直　[由于a·b＝(2，－1,0)·(－1，－2,0)＝－2＋2＝0，所以α⊥β.] 利用空间向量证明线线垂直 【例1】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. [解]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,1)， ∴＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，· ∴，即BD1⊥AC.⊥ (2)∵，＝＝(－1，－1,1)， ∴＋1×1＝0，＋(－1)×＝(－1)×· ∴，⊥ 即BD1⊥EB1. 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下： (1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可． (2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. [跟进训练] 1．在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. [证明]　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)， F(a－x，a,0)． ∴＝(a，x－a，－a)．＝(－x，a，－a)， ∴＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，· ∴，即A1F⊥C1E.⊥ 用空间向量证明线面垂直 [探究问题] 1．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？ [提示]　利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平