1.4.1 第2课时 空间向量与垂直关系（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 第2课时 空间向量与垂直关系 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点) 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点) 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理 【自主学习】 一．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量 ；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量 ；平面与平面垂直，就是两平面的法向量 ． 二．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔ ⇔ 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔ ⇔ ⇔ (λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ ⇔ ⇔ 思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？ 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.( ) (2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0. (　　) (3)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0. (　　) (4)若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0. (　　) (5)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．(　　) 2.若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 【经典例题】 题型一 证明线线垂直 点拨：用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，只需证明两条直线的方向向量a·b＝0即可，具体方法如下： 1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可． 2.基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF． 【跟踪训练】1 在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 题型二 空间中直线与平面垂直问题 点拨：用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直； (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．　 例2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 【跟踪训练】2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD． 题型三 空间中平面与平面垂直问题 点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 例3 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【跟踪训练】3如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 题型四　用空间向量解决立体几何中垂直相关的探索性问题 点拨：解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理； (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个