4.2.1 直线与圆的位置关系-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学必修二同步课件

4.2.1　直线与圆的位置关系 第四章 §4.2　直线、圆的位置关系 复习提问 点和圆的位置关系有几种？ （1）d<r 点在圆内 （2）d=r 点在圆上 （3）d>r 点 在圆外 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度． 一.实例引入 问题 O x y 轮船 港口 * 一.实例引入 问题 轮船航线所在直线 l 的方程为： 问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点． 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为: O x y 轮船 港口 * 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 二.直线与圆的位置关系 问题 （1） （2） （3） * 结合图形，可由圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量大小关系判定直线与圆的位置关系. d>r d=r d<r 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r： 如何判定直线和圆的位置关系？ 当 时，直线与圆的位置关系是相离 当 时，直线与圆的位置关系是相切 当 时，直线与圆的位置关系是相交 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 直线与圆的位置关系的判定方法 (2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断： 直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 几何法 代数法 d > r d = r d < r 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 直线与圆相离 n=0 △<0 直线与圆相切 n=1 △=0 直线与圆相交 n=2 △>0 判断下列直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 小试身手 题型一:判断直线与圆的位置关系 解法一: 题型一:判断直线与圆的位置关系 解法二: 练习1 直线y=x+b与圆x2+y2=2相交时，则b的取值范围如何？ 解: 则圆心到直线的距离为 因为直线与圆相交，所以 即 解得: 还有有别的方法解答这个问题吗？说说你想法 C 圆心坐标为C(0,0),半径为 练习2直线x-y-m=0与圆x2+y2=4相切时，则m的取值范围如何？ 分析:直线与圆相切,则圆心到直线的距离与圆的半径相等,即d=r. 参考答案: C *   1 题型二 弦长问题 方法总结:解决与圆有关的弦长问题时,多采用几何法，即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解. （ ） 针对性训练 题型 三:直线和圆的相切问题 变式 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程（只有一条）： 小结：圆的切线的求法 ②如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. ③过圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2；必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立． ④过圆(x-m) 2+(y-n) 2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为 (x0-m)(x-m)+(y0-n) (y-n)=r2. ①先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－ ，由点斜式方程可求得切线方程． (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程(一定有两条)： ①几何方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出． 当斜率不存在时，验证x=x0是否合题意. ②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，进而求出切线方程． 当斜率不存在时，验证x=x0是否合题意. ③过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 故当y＝kx为圆C的切线时，k可取得最值． 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆． 题型四、直线与圆有关最值问题 例4 已知x，y是实数，且x2＋y2－4x－6y＋12＝0，求 (1) 的最值；(2)x2＋y2的最值；(3)x＋y的最值. (1) 表示圆C上的点P(x，