4.1.2 圆的一般方程-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学必修二同步课件

第四章 §4.1　圆的方程 圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 展开，得 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： 结 论： 任何一个圆的方程都可以写成： 反过来， 比较圆的标准方程和圆的一般方程： 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 比较突出了方程形式上的特点： （1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 . （1） x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 . （3） D2 + E2 - 4AF > 0. 表示圆 二元二次方程 D=0 E=0 F=0 思考:当D=0，E=0或F=0时， 圆 的位置分别有什么特点？ C x o y C x o y C x o y * 练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径. 点( 0 , 0 ) 半径: 圆心: 半径: 圆心: 学科网 解：　由此方程表示圆，可得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0， 解得a＜ ， 即a的取值范围是 . 练习2：方程x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0表示圆，试求实数a的范围． 典例探究 例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 典例探究 例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 故圆心(0,5),半径 变式1:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心. 解:设圆的方程为: 因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即 所以,圆的方程为: 变式1求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 几何性质法 另解： y x M1(1,1) M2(4,2) 0 变式2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长. 3 解:设圆的方程为: 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即 圆的方程: 即: 圆心: 半径: 求圆方程的步骤: 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程. 4.多采用待定系数法和几何性质法求解圆的方程. (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 典例探究 相关点法 代入法 例2、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，点M满足 ，求点M的轨迹方程. 变式3:已知线段AB的端点B的坐标 是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以 即: 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即: 点M的轨迹方程 轨迹方程求法 y A B M x o 求轨迹方程的方法: 若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程 关键:列出P,Q两点的关系式. 求动点轨迹的步骤: 1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状. 思考: ，则动点P的轨迹是什么？ 变式:求与两个定点 O(0，0)、A(3，0) 距离的比为 的动点的轨迹，并画出曲线. A . M 解： 设点 M (x，y) 是曲线上的任意一点， 则 即 即 ①当 时， ∴动点M的轨迹是线段OA的中垂线. ②当 时， 即 以 圆心，