4.1.1 圆的标准方程-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学必修二同步课件

4.1.1 圆的标准方程 第四章 §4.1 圆的方程 本期教学内容安排 1、文理科完成必修2第三章《直线与方程》(已完成)、第四章 《圆与方程》; 2、 理科完成选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》、第一章《常用逻辑用语》; 文科完成选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》、第一章《常用逻辑用语》; 3、文理科完成必修3全书,即第一章《算法初步》、第二章《统计》、第三章《概率》; 以上为期末调研考试统考范围 4、理科可能增加选修2-1第三章《空间向量与立体几何》,文科在这章基础上适当删减内容学习. 本期重大考试安排 1、半期考试,学校命题,定于第10周的周三到周五进行(即11月3日到11月5日); 2、期末考试,成都市命题,定于第20周的周三到周五进行(即明年1月12日到1月14日). 1 知识讲解 PART ONE 通过上一章的学习,我们知道在直角坐标系中, 直线可以用方程表示,那么圆也可以用方程表示吗?圆的方程怎样来求呢? 初中圆是怎样定义的? 阅读教材118页并回答下面问题: (1)在直角坐标系中,确定圆的基本要素是什么? (2)如果已知圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r,我们如何写出圆的方程? 由定义求:圆心是A(a ,b),半径是r的圆的方程 . r 圆的定义: 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点就是圆心,定长就是半径。 x A O y M . 由定义求:圆心是A(a ,b),半径是r的圆的方程 . r 设M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义,点M到圆心A的 距离等于r,所以圆A就是集合 P ={ M | |MA|=r } 由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为: 把上式两边平方得:(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆的定义: 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点就是圆心,定长就是半径。 解: x A O y (x-a) 2 + (y-b) 2 = r M . 若点M在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程① ,反之,若点M的坐标满足方程① ,这就说明点M与圆心A的距离为r,即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a,b)半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. …… ① 特点: 1.是关于x、y的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 4.若圆心在坐标原点,则圆方程为 x2 + y 2 = r2 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 即 a、b、r . x A O y M . r 2 题型探究 PART TWO 变式1.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程. 解1: 设所求圆的方程为: 则由A(5, 1),B(7, -3),C(2, -8)都在圆上得, 解得 故△ABC的外接圆的方程是: D x y O A B C 变式1.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程. 解2: AB边中点: AB边斜率: AB边中垂线方程: 即 同样可求得AC边中垂线方程: 解方程组 得 圆心: 半径: 故△ABC的外接圆的方程是: D x y O A B C 例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3),求以P1P2为直径的圆的方程,试判断点M(6, 9)、N(3,3)、Q(5, 3)是在圆上,在圆内,还是在圆外? 解: 由题意得圆心: 即 半径: 故所求圆的方程为: M在圆上,N在圆外,Q在圆内. 引申1: 1.点M(x0, y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2有三种关系: 一般地, 引申2:已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2), 证明:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 证明: 设P(x, y)是圆上任意异于直径端点的一点, 则由M,N是直径的端点知 . P 即 即为所求圆的方程. 称其为圆方程的直径式. 经检验,直径端点M,N也适应该方程, M . x A O y . N 巩固.已知P1(4, 9)和P2(6, 3),求以P1P2为直径的圆的方程. 解: 所求圆的方程为: 即 例3.已知圆C经过点A(1, 1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆C的标准方程. 即 例3.已知圆C经过点A(1, 1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆C的标准方程. 例3.已知圆C经过点A(1, 1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆C的标准方程. 说明:一般地,求圆的方程有两种方法: (1) 待定系数法: 设出圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 根据条件列出关于a、b、r, 求系数 . (2)