专题15 利用导数研究函数的极值和最值的方法-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法15 利用导数研究函数的极值和最值的方法 基本原理 类型 解　　读 典例指引 求函数f(x)的极值 先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右附近函数值的符号. 例1 已知函数的极值，求参数范围 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解. 例2 求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值 在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 例3 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【四川省成都市2022届零诊】已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行. （1）求的值； （2）求函数的极值. 解：（1）由已知，可得. 函数的图象在点处的切线与直线平行， ，解得. 经验证，符合题意. （2）由（1）得，求导. 令，得或 当变化时，与的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单挑递增 当时，取得极大值，且； 当时，取得极小值，且. 【方法】求函数f(x)的极值 例2【2021届高三数学临考冲刺原创卷】． （Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：． 解：（Ⅰ）由题得定义域为，． ∵有两个极值点， ∴在内有两个零点． 设函数， 则， 当时，， 则在上单调递减； 当时，， 则在上单调递增， 可得的最小值为， ∴． （Ⅱ）证明：， 设的两根为，，且， ∴，， 可得， 当时，， ∴， 当时， 依题意有三个不同的零点， ∴，， 构造函数， 则， 当时，， 所以在上单调递增； 当时，， 所以在上单调递减， 且，， ，， 根据零点存在性定理得，使；，使．令，，则，， 又，，， ∴． 【方法】已知函数的极值，求参数范围 例3【2021安徽蚌埠四质检】已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）设在区间上的最大值为，求的最小值． 解：（1）由题意的定义域为，， ①若，则，所以在上为单调递增函数； ②若，由解得，， 的解为或，的解为， 即的增区间为，，减区间为． （2）①若，则，， 又由（1）知在上为增函数， 故； ②若，易知，，， ，，， （ⅰ）若，则，且， 故，所以 则， （ⅱ）若，则， 且，故在上为减函数， 则． 综上，所以． 【方法】求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【全国Ⅰ卷2021届高三高考数学押题】已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：设，，令，所以， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 且当时，，时，， 所以方程最多仅有两个解， 又因为在上最多仅有一个极值点， 所以有两个极值点，有一个极值点； 当方程有两个解时，，所以， 当在有一个极值点时，，所以， 综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则， 故选：A. 【方法】已知函数的极值，求参数范围 2．【广西桂林市、崇左市2021届高三联考】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：依题意，有两个变号零点， 令，即，则， 显然，则， 设，则， 设，则， ∴在上单调递减，又， ∴当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ∴，且时，，时，，∴，解得．故选：B． 【方法】已知函数的极值，求参数范围 3.【陕西省2021届高三下学期教学质量检测】设函数（且）. （1）若存在极值点，求实数a的取值范围； （2）设的极值点为，问是否存在正整数a，使得？若存在，求出a；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，函数，可得， 令，则，所以函数单调递增， 若有极值点，则有解，即有解， 则，即， 因为，所以，即，即， 此时有极小值点， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知，当时，函数的极值点（即函数的零点）， 因为，， 则且，则，则， 所以在上单调递增，，， 所以都使得成立， 又，所以有且只有满足题意. 【方法】已知函数的极值，求参数范围 4．【广东省揭阳市2021届高考数学模拟】已知函数. （1）讨论函数的极值点的个数； （2）当时，都有，求实数的取值范围.参考：当时，. 解：（1），设， 则，又，可得，，可得 可知即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，；当时，； ①当，即时，，在上单调递增，无极值点； ②当时，先负后正，先减后增，有1个极值点； ③当且，即时， 先正再负又正，