专题13 函数零点个数的判断方法-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法13 判断函数零点个数的判断方法 基本原理 方法 解读 适合题型 典例指引 解方程法 令f(x)=0,若能求出解,则有几个不同的解就有几个零点 基本初等函数 例1 图象法 画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数 分段函数、绝对值函数 例2 转化法 将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差,从而f(x)=0⇔h(x)-g(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数即为函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象的交点个数 复杂函数 例3 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟】方程实数根的个数为___________. 解：因为，所以，即， 因此，解得（舍）或，又因为， 所以或，所以方程实数根的个数为2个，故答案为：2. 【方法】解方程法 例2（多选题）【重庆市名校联盟2021届高三三模】是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A．的值域为 B．当时， C．图象的对称轴为直线 D．方程恰有5个实数解 解：根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确； 根据周期为，当时，，故B正确. 故选：ABD. 【方法】图象法 例3【2021浙江温州瑞安中学模拟】已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：由可得关于对称，由函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以的周期为4， 把函数的零点问题即的解，即函数和的图像交点问题，根据的性质可得如图所得图形，结合的图像， 由图像可得共有3个交点，故共有3个零点， 故选：B. 【方法】转化法 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【2021陕西二模】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 解：因为，所以函数是周期为2函数， 因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间） 再作出函数的图象， 容易得出到交点为12个． 故选：C． 【方法】图象法 2．【2021长岭二中二模】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵，则函数是周期的周期函数．又∵函数是定义在上的偶函数，且时，， ∴当时，， 令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，分别作出函数和的图象，如下图， 显然与在上有1个交点，在上有一个交点， 当时，，而， 所以或时，与无交点． 综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A 【方法】图象法 3.【2021年秋季高三数学开学摸底考】已知函数是定义域为的奇函数.当时， ，则函数在上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 解：由， 而函数是定义域为的奇函数， 所以，故， 又为R上的奇函数， 故在与时零点个数相同，故只需研究时的情形，对，, 在同一直角坐标系中作出与的图象， 由图可知，时，函数图象有2个交点， 所以总共有个零点， 故选：C 【方法】图象法 4．【上海市控江中学2021届高三三模】方程在区间上的解的个数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．9 解：原方程化为，在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图： 观察图象知：在时函数的图象与直线有8个公共点，所以方程在区间上8个解.故选：C 【方法】解方程法 5．【山东省烟台市2021届高三二模】已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：要求方程根的个数，即为求与的交点个数， 由题设知，在上的图象如下图示， ∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数， ∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D. 【方法】转化法 6.【辽宁省2021届高三5月份高考数学模拟】已知的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（ ） A． B． C． D． 解：当时，， 当时，，则， 当时，，则， 以此类推，当时，， 且函数在区间上为增函数， ，所以，函数在区间上有且只有一个零点，且， 因此，在内的零点个数为. 故选：B. 【方法】转化法 7.【2021新疆布尔津县中学三模】已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则的零点的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 解：由题意知：关于对称，而的零点