专题15 导数法妙解不等式的问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题15 导数法妙解不等式问题 考纲要求: 1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题. 2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力. 3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美. 基础知识回顾: 恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。 若函数 在区间 上存在最小值 和最大值 ，则: ①不等式 在区间 上恒成立 ； ②不等式 在区间 上恒成立 ； ③不等式 在区间 上恒成立 ； ④不等式 在区间 上恒成立 ； 若函数 在区间 上不存在最大（小）值，且值域为 ，则： ①不等式 （或 ）在区间 上恒成立 ； ②不等式 （或 ）在区间 上恒成立 ； 应用举例 类型一、利用导数解不等式 【例1】已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据 可知 在 上单调递增，再将不等式 转化为 ，最后利用 在 上单调递增列不等式求解.. 【详解】 由 得， .令 ，则 在 上单调递增，因为 的定义域为 ，所以不等式 满足 ， ，不等式两边同时乘以 得， ，即 ，又因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ， 【例2】（2021·进贤县第一中学）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造函数 ，则可判断 ，故 是 上的增函数，结合 即可得出答案. 【详解】设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，∵ ， ，∴ ，∴ 是 上的增函数，又 ，∴ 的解集为 ，即不等式 的解集为 . 【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数 是解题的关键. 【例3】（2021·四川绵阳中学）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件得到 ，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可 【详解】 解：因为 ，所以 ， 所以 ，所以 的图像关于点 对称，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 ，当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 取得极大值 ，所以 恒成立，所以 在 上为减函数， 所以由 ，得 ，所以 ， 所以原不等式的解集为 ，故选：A 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是由已知函数得到 ，从而将不等式 转化为 ，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 类型二、利用导数证明不等式 【例4】（多选题）（2021·常州市新桥高级中学）若 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 由A、B选项结构特征，构造函数 ，利用单调性即可判断； 由C选项结构特征，构造函数 ，利用单调性即可判断； 由D选项结构特征，构造函数 ，利用单调性即可判断； 【详解】 解：构造函数 EMBED Equation.DSMT4 ，因为 ，所以 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，即 ，所以选项A正确，选项B错误.构造函数 EMBED Equation.DSMT4 ， ，易知 在 上单调递增，而 ， 时， ，所以 ，使 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以无法判断C选项的正确性.构造函数 EMBED Equation.DSMT4 ，易知 在 上单调递增， 因为 ，所以 ，即 ，所以选项D正确.故选：AD. 【点睛】本题的解题关键是根据各选项的结构特征，构造相对应的函数，然后利用单调性进行判断. 【例5】已知函数 ， . （1）若 是函数 的极值点，求 的值及函数 图像在点 处的切线方程； （2）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围； （3）设 ，证明： . 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）证明见解析. 【分析】 (1)求出 的导数 ，由 求得m并验证即可作答； (2)利用给定条件列出恒成立的不等式，分离参数并讨论最小值计算而得； (3)作出要证不等式两边的差，变形、整理，构造函数，借助函数单调性即可得解. 【详解】 （1）由题意得： ， 因 是函数 的极值点，则 ，解得 ，此时 ，显然2是函数 的极小值点，即 ，于是有 ，又 ，由 得 ， 所以 ，且函数 图像在点 处的切线方程为： ； （2）由(1)知 ，而 在 上单调递增，从而得 ， EMBED Equation.DSMT4 ，而 ，当且仅当 时取“=”，即 ，