专题14 导数法妙解函数零点、方程根的问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题14 导数法妙解函数零点、方程根的问题 考纲要求: 1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题． 常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值 （1）设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的值都大（小），则称 是函数 的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域 ,再求导，再解方程 （注意和 求交集），最后列表确定极值。 一般地，函数在 点 连续时，如果 附近左侧 >0，右侧 <0，那么 是极大值。一般地，函数在 点 连续时，如果 附近左侧 <0，右侧 >0，那么 是极小值。 （3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （5）一般地，连续函数 在点 处有极值是 =0的充分非必要条件。 （6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值 （1）设 是定义在闭区间 上的函数， 在 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在 内的可能极值点（即方程 在 内的根 ）； ②比较函数值 ， 与 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）如果是开区间 ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 应用举例 类型一、利用导数研究方程的根 【例1】（多选题）（2021·重庆九龙坡·高三二模）已知函数 （ 为自然对数的底数），若关于 的方程 有且仅有四个不同的解，则实数 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 构造新函数 是偶函数，它有4个零点，因此在 时它有两个零点．用分离参数法转化为函数图象与直线有两个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，确定函数的变化趋势，从而得结论． 【详解】 设 ，则 是偶函数，由已知 ＝0有4个解，所以 时， 有2个解． 时， ， ， 显然不是方程 的解，因此 有两个正实根．设 ，则 ， 当 且 时 ， 时， ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 时， ， 是极小值，所以 时， ，而 且 时， ， 时， ，所以 有两个正实根时， ．只有CD满足．故选：CD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查方程根的分布，解题关键是构造新函数 ，问题转化为只要偶函数 有两个正的零点即可．这样新函数解析式确定，问题再转化为直线与函数图象有两个交点，然后研究函数的单调性、极值、变化趋势即可得． 【例2】（2021·新疆高三其他模拟）定义在 上的函数 满足 ，且 时， .若关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 把方程问题转化为函数图像交点问题，求出临界值即：函数 图像和直线 相切时 的值，结合 的性质以及函数对称性，即可得解. 【详解】 当 时，令 ，则 ，即 时， 单调递增. 时， 单调递减.且 .若关于 的方程 有三个不相等的实数根，如图，当 时，设过点 做曲线的切线交曲线于点 ，切线方程为： 切线由过点 ， 则 ，又∵ 在 时单调递减.∴ ，切线的斜率为 ，∴ 由对称性知： . 【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了转化思想和数形结合思想，同时考查了利用导数的几何性质求切向方程，有一定的计算量属于中档题.本题关键有： （1）函数方程转化为函数图像交点问题；（2）求范围问题关键是求临界值；（3）掌握过某点求切线方程. 【例3】（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝ ，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣ ，﹣ ] B．[﹣ ，﹣ ） C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0）∪{﹣ } 【答案】D 【分析】 利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出 ；结合题意得出 在 有且仅有1个解，计算 的值即可. 【详解】 当 时 ，则 ，令 ，解得 ，所以当 时 ， 单调递增； 当 时 ， 单调递减，所以 ，故 在定义域上恒成立， 由 有且只有2个实数根，得方程 有2个解， 又 ，所以 ，则 在 有且仅有1个解，因为 ，则