专题13 导数法妙解极值、最值问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题13 导数法妙解极值、最值问题 考纲要求: 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次). 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值 （1）设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的值都大（小），则称 是函数 的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域 ,再求导，再解方程 （注意和 求交集），最后列表确定极值。 一般地，函数在 点 连续时，如果 附近左侧 >0，右侧 <0，那么 是极大值。一般地，函数在 点 连续时，如果 附近左侧 <0，右侧 >0，那么 是极小值。 （3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （5）一般地，连续函数 在点 处有极值是 =0的充分非必要条件。 （6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值 （1）设 是定义在闭区间 上的函数， 在 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在 内的可能极值点（即方程 在 内的根 ）； ②比较函数值 ， 与 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）如果是开区间 ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 应用举例 类型一、由函数图象判断函数极值 【例1】（2021·河南高三期中）设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数 有极大值 和极小值 B．函数 有极大值 和极小值 C．函数 有极大值 和极小值 D．函数 有极大值 和极小值 【答案】B 【详解】由图知：当 时，有 、 ，∴ ， ，又 时 ，而 则 ，即 递增； 时 ，而 则 ，即 递减； 时 ，而 则 ，即 递增； 时 ，而 则 ，即 递增；综上， 、 上 递增； 上 递减.∴函数 有极大值 和极小值 . 【例2】（2021·北京高三期中）已知函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． 没有极大值 C． 时， 有极大值 D． 时， 有极小值 【答案】D 【分析】 根据函数 的图象可知， 有极大值 ， 的值无法确定，再根据 的图象确定 的单调性，从而可说明 不是函数 的极值点， 是函数 的极小值点. 【详解】 解：如图所示，设函数 的图象在原点与 之间的交点为 ．由图象可知： .当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增； 当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增． 可得： 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点． 不是函数 的极值点， 不一定成立．且由图知， 有极大值 .故选：D． 【例3】（2021·广东高三期末）下图是函数 的导函数 的图象，则下列结论正确的是（ ） A． B． 是 的极小值点 C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点 【答案】CD 【分析】 根据 的图象，得到函数 的单调性，结合单调性和函数极值点的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】 由题意，根据 的图象，可得当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 ，所以A不正确； 不是函数 的极值点，所以B不正确； 是函数 的极小值点，所以C正确； 是函数 的极大值点，所以D正确.故选：CD. 类型二、正向思维：已知函数解析式求极值或最值 【例4】（2021·重庆八中高三期中）设函数 ，则 的（ ） A．极小值点为 ，极大值点为 B．极小值点为 ，极大值点为 C．极小值点为 ，极大值点为 D．极小值点为 ，极大值点为 【答案】A 【分析】 利用导数分析函数 的单调性，由此可得出结论. 【详解】 ，则 ，函数 的定义域为 ，由 可得 ，由 可得 或 .所以，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .因此，函数 的极小值点为 ，极大值点为 .故选：A 【例5】已知函数. (1)求的单调区间; (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】(1),令,得,,与的变化情况如下:，所以的单调递减区间为,单调递增区间为和. (2)由(1)知,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为,在区间上的最小值为,因为,,且,所以在区间上的最小值为