专题12 导数法巧解单调性问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题12 导数法巧解单调性问题 考纲要求: 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次). 基础知识回顾: 用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内 （ ）0 （2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域 →求导 →解不等式 ＞ 0得解集 →求 ,得函数的单调递增（减）区间。 一般地，函数 在某个区间可导， ＞0 EMBED Equation.DSMT4 在这个区间是增函数 一般地，函数 在某个区间可导， ＜0 EMBED Equation.DSMT4 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用（已知函数单调性） 一般地，函数 在某个区间可导， 在这个区间是增(减)函数 ≥ EMBED Equation.DSMT4 【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式 ＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。 ②已知函数的增（减）区间，应得到 ≥（≤）0，必须要带上等号。 ③求函数的单调增（减）区间，要解不等式 ＞ 0，此处不能带上等号。 ④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“ ”连接。 应用举例: 类型一、求函数的单调区间 【例1】 函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得,所以函数的定义域为, 又, 因为, 所以由得,解得, 所以函数的单调递减区间为. 【例2】 已知,函数的递增区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以, 令,解得, 当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以在上的单调递增区间为, 类型二、含参数函数的单调性问题 【例3】（2021·安徽芜湖一中）已知函数 （ ，e为自然对数的底数）. （1）讨论函数 的单调性. （2）当 时，证明： . 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解. 【分析】 （1） ，对 分类讨论，即可得出单调性. （2） ， ，即 ， ，当 时， ，因此只要证明： 即可，令 ， ，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，即可证明结论. 【详解】 （1） ， 当 时， ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 时， ， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 综上所述， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； 时，函数 在 上单调递增； 时，函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）证明： ， ，即 ， ，当 时， ，因此只要证明： 即可， 令 ， ， ， 令 在 上单调递增，又 ， ， 存在唯一 ，使得 ， ，即 ， 是函数 的极小值点，此时函数 在 取得最小值， ， 当 时， ，即 . 【例4】已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a)，求函数f(x)的单调区间． 【解析】函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(ax＋a＋1)·(x＋1)ex， （1）当a＝0时，f′(x)＝ex(x＋1)，当x>－1时，f′(x)>0，当x<－1时，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)． （2）当a≠0时，f′(x)＝a(x＋1).ex，则方程f′(x)＝0有两根－1，－ ①当a>0时，－1>－， 所以函数f(x)的单调增区间为.和(－1，＋∞)，单调减区间为 ②当a<0时，－1<－.，单调减区间为(－∞，－1)和，所以函数f(x)的单调增区间为 综上可知，当a>0时，函数f(x)的单调增区间为.，单调减区间为(－∞，－1)和；当a＝0时，函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)；当a<0时，函数f(x)的单调增区间为和(－1，＋∞)，单调减区间为 【点睛】 求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先分系数零正负”． 【例5】（2021·合肥艺术中学 ）已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】 （1）求导 ，分