专题10 高考中的常青树分段函数-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题10 高考中的常青树分段函数 考纲要求: 基础知识回顾: 分段函数 在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． (4)对于分段函数在定义域上具有单调性求参数范围的题目(常常分两段)，如f(x)＝ 解法如下：当函数在全体实数上单调递增(递减)时，需有： ①由g(x)单调递增(递减)列出关于参数的不等式， ②由h(x)单调递增(递减)列出关于参数的不等式， ③由h(x0)≤g(x0)(h(x0)≥g(x0))得到参数的不等式，将以上关于参数的不等式联立求解即可． （5）求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 应用举例: 类型一、分段函数的奇偶性 【例1】函数f(x)＝为（ ） A．奇函数　　 B．偶函数 C．即是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】法一：定义法 当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1， －x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 法二：图象法，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 【例2】（多选题）（2021·广东高三专题练习）已知函数 ，以下结论正确的是（ ） A． 是偶函数 B． 最小值为2 C． 在区间 上单调递减 D． 的周期为2 【答案】AB 【分析】 先判断 的奇偶性及周期，从而判断A,D; 所以只须研究 在 的性质，即 ，然后分别求导数可得单调性以及最值. 【详解】 ∵ ， ，∴ 是偶函数，A正确；因为 ，所以函数 的周期为 ，D错误；由函数的奇偶性与周期性，只须研究 在 上的性质. ， 当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ； 当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 此时 ，故当 时， ，B正确.因为 在 上单调递减，又 是偶函数，故 在 上单调递增，故C错误. 类型二、分段函数的单调性 【例3】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解可得的范围，即可得答案． 【详解】根据题意，，则， 分析可得，当时，取得最小值2，则有 ，则，若为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为。 【例4】（2021·昆明市第三中学经开区学校）已知 满足任意 都有 成立，那么 的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 由题意可知，分段函数 在 上单调递减，因此分段函数 的每一段都是单调递减，且左边一段的最小值不小于右边的最大值，即可得到实数 的取值范围. 【详解】 由任意 都有 成立，可知函数 在 上单调递减，又因 ，所以 ，解得 . 类型三、分段函数与方程的根 【例5】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】 绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是. 【例6】（多选题）已知函数 关于 的方程 的实数解个数，下列说法正确的是（ ） A．当 时，方程有两个实数解 B．当 时，方程无实数解 C．当 时，方程有三个实数解 D．当 时，方程有两个实数解 【答案】CD 【分析】 方程 即 ，作出函数 的简图，数形结合可得结果. 【详解】 方程 即 ，作出函数 的简图，由图可知：当 时，函数 的图象与直