专题09 让抽象函数不再抽象-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题09 让抽象函数不再抽象 考纲要求: 抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识. 函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查. 函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数. 函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称. 基础知识回顾: 一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。常见抽象函数的解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 2、指数函数型抽象函数 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 4、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 应用举例: 招数一：构造函数法 【例1】（2021·福建莆田二中高三）设 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】D 【分析】 令 ，可得 ，当 时，有 ，可得 ，即函数 在 上单调递增．又 是 上的奇函数，可得函数 为奇函数，又 ，可得 ， ，再分类讨论即可解出不等式． 【详解】 令 ，则 ， 当 时，有 ，即 ， ， 即函数 在 上单调递增．又 是 上的奇函数， ， ， 故函数 为奇函数，由奇函数的对称性可得 在 上单调递增．又 ， ， ， ．所以当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，由 可得， ，即要使 成立，只需 成立； 所以 的解集为 ，故选：D． 【例2】（2021·贵州高三期末）设函数 是奇函数 的导函数， ．当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令 ，由已知条件可得 ，所以 在 上单调递增，由 和 为奇函数，可得 为奇函数，且 ，从而由 的单调性可得答案 【详解】 因为当 时， ，所以 ，故令 ，则 ，故 在 上单调递增.因为 ，所以 ，又因为 为奇函数，所以 为奇函数，所以 ，且在区间 上， 单调递增.所以使得 ，即 成立的 的取值范围是 . 【例3】（2021·广东南海中学）设 是偶函数 的导数， ，当 时， ，则使 成立的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数 ，利用导数得到， 在 是减函数，再根据 为偶函数，根据 ，解得 的解集． 【详解】令 ， ， 时， , 在 上是减函数， EMBED Equation.DSMT4 为偶函数， EMBED Equation.DSMT4 为奇函数,在 上单调递减, EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ， EMBED Equation.DSMT4 , 因此 ， , 因此使得 成立的 的取值范围是 , 招数二：赋值法 【例1】（2021·遵义市第五中学）已知函数 是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有 成立，且 ，则下列说法正确的是（ ） ① 是函数的一个对称中心；②函数 的一个周期是4；③ ；④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】 根据 可判断①；根据 和 是奇函数可判断②；根据 可判断③；根据 可判断④. 【详解】 由 知 ，所以函数 的图象关于直线 对称，故①错误； 由 得 ，由 是奇函数得 ，则 ，所以 ，即函数 的一个周期是4，故②正确；由 得 ，故③正确；因为 是 上的奇函数，所以 ，由 得 ，故④正确.故选：B. 【例2】函数 是定义在 上的奇函数，下列说法： ① ；②若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值 ； ③若 在 上为增函数，则 在 上为减函数．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用奇函数的性质可判断①②的正误；利用函数单调性可判断③的正误. 【详解】 对于①， ，可得 ，①对；对于②，由题意可知，存在 ，使得对任意的 ，都有 ，则 ，且 ，对任意的 ， ，所以， ，即函数 在 上有最大值 ，②对； 对于③，任取 、 且 ，则 ，因为函数 在 上为增函数，则 ，即 ，故 ，所以，函数 在 上为增函数，③错. 【例3】（多选题）（2021·江苏南京市第二十九中学）已知 是定义在 上的奇函数， 的图象关于 对称，当 时， ，则下列判断正确的是（ ） A． 的周期为4 B． 的值域为 C． 是偶函数 D． 【答案】ACD