专题08 无处不考的函数性质问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题08 无处不考的函数性质问题 考纲要求: 1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 基础知识回顾: 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 2．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 3、 奇、偶函数的性质 （1）普通性质 ①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称； ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则 ；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． （2）在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函 数的积是奇函数． 【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。 4．函数的周期性 （1）周期函数的定义：若 为非零实数，对于定义域内的任意 ，总有 恒成立，则 叫做周期函数， 叫做这个函数的一个周期。 （2）周期函数的性质：①若 是函数 的一个周期，则 ( 也是它的一个周期；②若 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 的最小正周期；③如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的最小正周期是 。 【注】如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的周期是 ；如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的对称轴是 。 应用举例: 类型一、函数单调性、奇偶性、周期性的判断 【例1】（2021·广西高三开学考试）关于函数 ，下列关于该函数说法正确的是（ ） A．周期为 B．周期为 C．是偶函数 D．最大值为 【答案】A 【分析】 利用周期的定义判断AB，利用函数奇偶性的定义判断C，对于D，举例判断 【详解】对于AB，设函数的最小正周期为 ，则 ，所以 ， 所以 ，所以 的最小值为12，所以函数的周期为12，所以A正确，B错误， 对于C，函数的定义域为 ，因为 ，所以函数为奇函数，所以C错误，对于D，当 时， ，所以D错误， 【例2】（2021·广东石门中学高三其他模拟）已知函数f(x)=xln( )，则以下结论正确的是（ ） A． 为奇函数 B． 在区间(0，+∞)上单调递增 C．曲线 在(0，f(0))处的切线的斜率为ln2 D．函数 有三个零点 【答案】ABC 【分析】 根据定义判定奇偶性，进而判定A；利用积函数的单调性规律可判定B;利用积函数的求导法则可以求得导函数，进而得到切线的斜率,从而判定C；根据函数的单调性和奇函数的性质分析，即可判定D. 【详解】 对A：函数 的定义域为R，且有 为奇函数，y= 为偶函数，∴函数 =xln 为奇函数，故A正确；对B：当x∈(0，+∞)时 为增函数，而y= 则ln( >0 当x∈(0，+∞)时y= 为增函数，故函数f(x)=xln( )在区间(0，+∞)上单调递增，故B正确； 对C：设h(x)=ln( )，于是f(x)=xh(x)，有 得 =h(0)=ln2，故C正确； 对D：故函数 =xln 在区间(0，+∞)上单调递增，且f(x)为奇函数，即函数f(x)=xln 在区间R上单调递增，只有一个零点为 ，故D错误. 【点睛】若f(x),g(x)同奇偶，则奇函数f(x)g(x)是偶函数，若奇偶性相反，则积函数f(x)g(x)为奇函数；若f(x)，g(x