专题07 威力无穷的函数图像-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题07 威力无穷的函数图像 考纲要求: 1．考查函数图象的识辨． 2．考查函数图象的变换． 3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数． 基础知识回顾: 1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等． 2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象． 3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。 （1）平移变换（左加右减，上加下减） 把函数 的图像向左平移 个 单位，得到函数 的图像， 把函数 的图像向右平移 个 单位，得到函数 的图像， 把函数 的图像向上平移 个 单位，得到函数 的图像， 把函数 的图像向下平移 个 单位，得到函数 的图像。 （2）伸缩变换 ①把函数 图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍得 (0< <1) ②把函数 图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍得 ( >1) ③把函数 图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍得 ( >1) ④把函数 图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍得 (0< <1) (3)对称变换 ①y＝f(x) ； ②y＝f(x) ； ③y＝f(x) ； ④y＝ax (a>0且a≠1) . (a>0且a≠1) ⑤对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 （4）翻折变换： ①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到 轴上方，得到函数 的图像； ②保留 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数 的图像。 4．等价变换 例如：作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形 y＝⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．⇔⇔ 应用举例: 类型一、读图，即由题中所给函数图象“读出”函数的有关性质 例1．若函数 的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令 得到 ，再根据函数图象与x轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令 得 ，即 ，解得 ，由图象知 ， 当 时， ，当 时， ，故排除AD，当 时，易知 是减函数， 当 时， ， ，故排除C，故选：B 例2．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 （ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】 由函数零点代入解析式待定系数 、 . 【详解】 由图象可知，由 得 ，又 ，解得 .则 ， 法一：由 得 ，解得 ，又当 ， 时，恒有 ， 即 恒成立，故 ， ，即 ，则 . 法二：由 ，解得 ，故两相邻零点的距离为 ，由图象可知 ，则 ，则 . 【点睛】已知函数图象待定解析式，一是从函数的特征点入手，代入点的坐标从而待定系数，如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等；二是从函数的特征量入手，找到等量(不等量)关系待定系数(范围)，如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等. 例3．函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的图象，从函数的定义域， 和 时判断. 【详解】由 图象得函数的定义域为 ，排除 ；由 ，排除D； 由 时, ，排除B．故选：C. 例4． 是定义在区间 上的奇函数，其图像如图所示．令 ，则下列关于函数 的叙述正确的是（ ） A．若 ，则函数 的图象关于原点对称 B．若 ，则方程 有大于2的实根 C．若 ，则方程 有两个实根 D．若 ，则方程 有三个实根 【答案】BD 【分析】 根据函数图像及函数性质，数形结合，对选项一一分析即可. 【详解】 当 时， 关于原点对称，根据图像平移知 关于 点对称，A错误； 时，方程 ， ，由 的图像知， 在 上有一个交点，故B正确； 时， ，若使方程 由两个根，由图知，必有 ，其他的非零a值均不满足，故C错误； 时， ，由图知有三个交点，故D正确； 【点睛】将方程 转化为 ，即变成图像交点问题，由数形结合求得结果. 类型二、作图，即根据解析式画出函数图象 例5.分别作出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)y＝图象如图①所示． (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示． (3)y＝图象如图③所示． 例6．画出下列函数的图象． (1)y＝eln x； (2)y＝|x－2|·(x＋1)． 解： (1)因为函数的定义域为{x|x>0}， 所以y＝eln x＝x(x>0)