专题06 函数的最值与值域的妙解-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题06 函数的最值与值域的妙解 考纲要求: 1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法． 2、会求一些简单函数的定义域和值域. 基础知识回顾: 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥m； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝m. 结论 M为最大值 m为最小值 应用举例: 招数一：换元法与配方法 例1．已知 EMBED Equation.DSMT4 为定义在 上的偶函数，当 时，函数 EMBED Equation.DSMT4 的最小值为1，则 （ ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】 先由函数 为偶函数求出 的值，即可写出 的解析式，然后令 ，则 ，最后利用二次函数的图象与性质分情况求出 的值，即可求得结果． 【详解】 解：由题意知 ，得 ，整理得 ，所以 ，所以 ， ， 令 ，则 ．易知 在 上是增函数，所以 ． 因为 在 上的最小值是1，所以 在 上的最小值是1， 当 时， ，解得 或 （舍去）； 当 时， ，不合题意，舍去． 综上， ， 例2．（2021·苏州外国语学校）已知函数 在区间 上的最大值为3，则实数 的值为（ ） A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1 【答案】B 【分析】 令 ，根据 的范围，求出 的范围，得到 ，通过讨论 的范围，得到关于 的方程，解出即可. 【详解】 令 ， ， 是单调递增函数， ，则 ， ， 当 时， ，故舍去 ； 当 时，二次函数 ，对称轴为 当 时，二次函数开口向上， 在 上单减，在 上单增，所以 ，故 符合； 当 时，二次函数开口向下， 在 上单增，在 上单减，所以； ，故 符合； 综上： 或 . 【点睛】本题考查函数求值域问题，常用的方法有： （1）图像法(针对二次函数和三角函数) （2）配方法（针对二次函数） （3）分离常数法 (形如函数 ，分子分母最高次一致) （4）换元法（注意换元之后的范围） 例3．（2020·广西南宁市东盟中学）若 ， ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先求出 的解析式，求出函数的定义域，令 ，再根据二次函数的性质求出函数的值域； 【详解】 解：因为 ， ，函数 ，则 ，所以 ，解得 ，即函数的定义域为 所以 ，令 ，因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 例4．（2021·江苏南京师大附中）在锐角 中， ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得A,B的关系，结合锐角三角形条件可求A,B的范围，然后结合函数单调性可求. 【详解】 因为 及 ，所以 ，由正弦定理: ，所以 ，整理得： ,即 ，所以 ，即 ，由题意得 解得: ，故 , ， 则 ，因为 ，所以 ，令 ,则 ， 在 上单调递增，又f(1)=3, ，故f(t)∈ . 招数二：导数法 例5．（2021·四川省乐至中学高三）若存在 ， 使得 ，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知可得 ，令 ， ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案 【详解】 由 ，得 ，令 ， ，则 ， 当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，所以当 时， 取得极大值即最大值 ，因为当 时， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以实数 的最大值为 ， 例6．（2021·山东淄博高三）已知实数 ， ， 满足 ， ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知条件可得 ， ，由 求出 ，所求式子 可以用 表示，由 可以求出 得范围，再利用导数求关于 的函数的单调性，利用单调性可求最值. 【详解】 由 ， 可得 ， ，由 可得 所以 ，由 可得 即 ，解得 ，所以 ，令 ， ，由 可得 ，由 可得 或 ， ， ， ， ， 所以 的最小值为 ，即 的最小值为 . 【点睛】本题解题的关键点是将所求的式子用变量 表示，利用不等式求出 得范围，利用导数判断函数的单调性，利用单调性求最值. 例7．【2021陕西省延安市黄陵中学高三】已知函数 ， ， 是 的导数，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】