小题特训04：利用导函数研究函数的单调性（提高题）-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训04：利用导函数研究函数的单调性（提高题） 一、单选题 1．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三开学考试（文））幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出幂函数的解析式，再由导数确定的单调性． 【详解】 设，则，， 所以，函数定义域是， ，由得或 所以的增区间是，． 故选：D． 2．（2021·山西运城·高三其他模拟（理））已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先判断函数的奇偶性与单调性，然后结合奇偶性和单调性解不等式． 【详解】 ，是偶函数， ，设，则， 所以是增函数，时，，即时，， 所以在上，是增函数． 又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或． 故选：A． 【点睛】 关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式．在确定单调性需利用导数的知识，为了确定的正负，还需进行二次求导． 3．（2021·新疆（理））若对于任意的，都有，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 问题转化为，得到函数在定义域上单调递增，求出函数的导数，得到在上恒成立，求出的最大值即可． 【详解】 解：，， ， ， ， 故函数在定义域上单调递增， 故在上恒成立， 故，解得：， 故的最大值是， 故选：． 4．（2021·宜宾市翠屏区天立学校（文））若函数在区间上单调递增，则a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 换元，令，由题意，根据复合函数同增异减的判断方法可知函数在上单调递减，并且在上成立，求解即可. 【详解】 令，则，因为函数在上单调递增，函数在定义域上是减函数，所以函数在上单调递减，并且在上成立；当在上单调递减， 则在上成立，所以；又在上成立，所以在上成立，所以，综上，的取值范围为. 故选：D. 【点睛】 关于复合函数的单调性问题，一是通过口诀判断，换元以后判断内函数与外函数的单调性，根据同增异减判断即可，但需要注意对数函数的定义域；二是利用求导法，换元以后分别求导再相乘计算. 5．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 因为的定义域为，， 由，得，解得，所以的递增区间为． 由于在区间上单调递增，则， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型： （1）区间为函数单调递增区间的子集； （2）对任意的，恒成立. 同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系. 6．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（文））若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得，由题意可知，有两个不同的零点，可得出，进而可求得实数的取值范围. 【详解】 由题意得， 函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题. 7．（2021·全国高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解. 【详解】 已知函数， 则， 因为在，上为增函数，在上为减函数， 所以，即， 解得 ， 所以实数的取值范围为 故选：B 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 8．（2021·四川成都·高三其他模拟（文））已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 不妨设，可得：，可得函数在，上单调递增，可得导函数在，上恒成立，进而用分参法结合导数研究其单调性和最值即可得出结果． 【详解】 不妨设，可得：， 可得函数在，上单调递增，则导函数在，上恒成立， ，可得：． 令， 则，所以在上恒成立，在上恒成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时，． ． 故选： 【点睛】 关键点点睛：将问题转化为构造的新函数的单调性问题，原函数单增转化为导函数大于等于0，再利用分参法求最值即可． 9．（2021·山西（文））已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意得