小题特训03：利用导函数研究函数的单调性（基础题）-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训03：利用导函数研究函数的单调性（基础题） 一、单选题 1．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，则其单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求导，求函数的单调递增区间，即求不等式，解不等式即可的答案. 【详解】 由，函数定义域为， 求导，令，得或（舍去） 所以单调增区间是 故选：A. 2．（2021·全国高三其他模拟）已知，，，则，，之间的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设函数，求得，根据导数的符号，求得函数的单调性，结合函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】 设函数，则， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以，即，所以. 故选：B. 3．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】 解：设，，则恒成立，∴函数在上单调递增，又，，，∵，，∴， 故选：D. 4．（2021·漠河市高级中学（理））函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数求导，然后由求解. 【详解】 因为函数， 所以， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是， 故选：C 5．（2021·全国高三专题练习）设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为，则函数的增区间为（ ） A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1) 【答案】C 【分析】 由的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，，得到求出a、b，直接利用导数求出增区间. 【详解】 的定义域为， ∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x， ∴解得： ∴ 欲求的增区间 只需，解得： 即函数的增区间为(，) 故选：C 【点睛】 函数的单调性与导数的关系： 已知函数在某个区间内可导， （1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减； （2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有； 6．（2021·全国高三专题练习（文））函数的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数求得函数的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】 ，该函数的定义域为， ， ，可得， 令，可得，即，解得. 所以，函数的单调递减区间为. 当时，函数的一个单调递减区间为， ， 对任意的，，，， 故函数的一个单调递减区间为. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中档题. 思路点睛：若，所求区间为的单调增区间； （2）若，则所求区间为的单调减区间. 7．（2021·山东高三专题练习）函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可． 【详解】 函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立 ，解得 故选：D 【点睛】 本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题． 8．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））设在上单调递增，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 对于命题，先根据函数的单调性求出参数，再根据小范围推出大范围，大范围推不出小范围，进而判断命题间的充分必要性. 【详解】 解：∵在内单调递增，所以恒成立，即恒成立，得，即，即； 而，所以是的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 9．（2021·全国高三专题练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求导在上恒成立，分离参数得，再求解的最大值即可得结果． 【详解】 函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，定义域为 故在上恒成立，则 令，因为 则当，即时，函数g(x)取最大值1，故m≥1． 故选：C 【点睛】 方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；