小题特训02：利用导函数研究切线问题（提高题）-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训02：利用导函数研究切线问题（提高题） 一、单选题 1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知方程有且只有一个实数根，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将方程化为，设，对求导得到，设，然后求出的单调区间，作出其图像，数形结合，得到m的取值范围. 【详解】 由题意，可得， 设，则， 设，则， 又，所以当时，， 当时，， 则当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，当时，， 当时，恒大于0，作出的图像如图所示， 则或，所以实数m的取值范围时． 故选：A. 2．（2021·广东茂名市·高三月考）已知为奇函数，且时，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据奇函数的性质求解当时，再根据导数的几何意义求解即可 【详解】 由为奇函数，且时，，可得当时，，则，解得.故曲线在点处的切线方程为，即. 故选：C. 3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】 设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n＝0，进而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】 设切点为（m，n）， y＝ln（x+b）的导数为， 由题意可得=1， 又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b）， 解得n＝0，m＝2a， 即有2a+b＝1，因为a、b为正实数， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为8． 故选：C． 4．（2021·广东高三月考）若过点可以作曲线的三条切线，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】 切点，写出切线方程，结合切线过点，整理成关于的方程有三个不同的实根，结合函数单调性求解. 【详解】 设切点，切线方程， 切线过点，， 整理得：，由于可以作三条切线， 所以关于的方程有三个不同的实根， ，，令， 或. 函数的增区间为，减区间为， 所以函数极大值，极小值， 关于的方程有三个不同的实根， 所以， 所以. 故选：B 5．（2021·福建上杭一中高三月考）若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出导函数，表示出切线方程，再求出的表达式，最后借助导数即可作答. 【详解】 由求导得：，于是得， 函数图象在点处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令，则，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故选：D 6．（2021·全国高三专题练习（文））已知a为常数，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，曲线存在与直线垂直的切线，转化为有正根，分离参数，求最值，即可得到结论． 【详解】 解：令， 由题意，斜率是，则与直线垂直的切线的斜率是1， 有解 函数的定义域为， 有正根， ， 有正根 有正根 ， ． 故选：A． 7．（2021·四川成都七中高三月考（文））已知直线为曲线在处的切线，则在直线上方的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】 , , 又当时，， 所以切线的方程为, 对于A,当时，，故点在切线上； 对于B,当时，，故点在切线下方； 对于C,当时，，故点在切线上方； 对于D,当1时，,故点在切线下方. 故选：C. 【点睛】 本题考查曲线的切线方程的求法和点与直线的位置关系的判定，其中导数的运算是重点.点与直线的位置关系的判定中利用不等式的基本性质和π的过剩和不足近似值进行大小判定是需要仔细处理的. 8．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ） A．0 B．-1 C．3 D．-1或3 【答案】D 【分析】 先求得过且于相切的切线方程，然后与联立，由求解. 【详解】 设直线与相切的切点为， 由的导数为， 可得切线的斜率为， 则切线的方程为， 将代入切线的方程可得， 解得，则切线的方程为， 联立，可得， 由，解得或3， 故选：D. 【点睛】 关键点睛：求切线方程问题的关键一是设切点并求出切线的斜率，二是直线与抛物线相切可以通过联立再运用判别式. 9．（2021·云南高三三模（理））已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 可看作的图象有2个交点，分别判断与单调性，画出图象，当与相切时，设切点为，利用， ，可得，从而，再利用图象平移可得答案. 【详解】 函数有两个不同的零点