小题特训07：集合、常用逻辑用语、不等式 新文化题-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训07：集合、常用逻辑用语、不等式 新文化题 一、单选题 1．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果. 【详解】 因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B. 2．（2020·扬州市第一中学高二期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是 A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 【答案】A 【分析】 根据命题的定义判断可得出结论. 【详解】 对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题； 对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 3．（2021·江苏高一期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】 根据自恋数的定义,求出;用列举法表示出,求出交集后,由交集中元素个数,即可求出真子集个数. 【详解】 解:依题意,, 故,故的真子集个数为7 故选:C. 【点睛】 本题考查了集合的运算,考查了真子集的涵义.若集合中元素个数有 个,则其子集有 个,真子集有 个,非空子集有个,非空真子集有个. 4． （2021·江苏高一专题练习）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知， ，若，则整数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将选项中的数字带入集合A，B，C检验是否为A，B，C的元素，找出最小的一个即可． 【详解】 解：因为求整数的最小值，所以从最小的数开始带入检验即可： 当=23时，，故；，故；，故， ， 故选D． 【点睛】 本题考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，利用排除法，可快速得出答案． 5．（2021·江西赣州·高二期中（文））南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可． 【详解】 由祖暅原理可知，若总相等，则相等，即必要性成立； 假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥，它们的体积分别为，则，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为、，但与不总相等，即充分性不成立． 因此，命题是命题的必要不充分条件． 故选：B． 6．（2021·江苏高一专题练习）已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】 根据题意可得，求出集合A，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解. 【详解】 由题意可得或， ， 当时，，满足； 当时，或， 若，则，解得； 当时，或， 若，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围是或. 故选：C 【点睛】