小题特训06：不等式（提高题）-2022年高考数学一轮复习小题(高频考点）特训（新高考专版）

小题特训06：不等式（提高题） 一、单选题 1．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））若，，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用已知凑出积为定值，然后利用基本不等式求最小值． 【详解】 因为a＞0，b＞0，， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：B． 2．（2021·全国高三专题练习（文））若，，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．3 【答案】D 【分析】 根据给定条件利用“1的妙用”再结合均值不等式求解即得. 【详解】 因，， 则，当且仅当时取“=”， 所以时，取最小值为3. 故选：D 3．（2021·广东广州·高三月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】 先求得定点，代入椭圆方程得，进而由“1的妙用”可得结果. 【详解】 对于函数，令得，则函数图象恒过定点， 将其代入椭圆方程得（）， 则. 当且仅当时，有最小值9. 故选：C. 4．（2021·全国高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．16 D．9 【答案】D 【分析】 利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项. 【详解】 由已知，，若不等式恒成立， 所以恒成立， 转化成求的最小值， ， 当且仅当时取等 所以． 故选：D． 5．（2021·全国（文））若，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 变形条件为，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解. 【详解】 由题意可得， 则， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：A 6．（2021·辽宁高三其他模拟（文））设，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用基本不等式计算求解即可. 【详解】 ，当且仅当，即，时“＝”成立． 故选：B. 【点睛】 思路点睛:（1）已知，求的最值的方法是＝，然后展开，结合基本不等式求得；（2）已知，求的最值的方法类似上面解法，即＝，然后结合基本不等式求解． 7．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．25 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【分析】 用“1”的代换凑配出积的定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】 ，则， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得. 【详解】 因，且，则，即有，同理， 由得：， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为. 故选：D 9．（2021·重庆市清华中学校高三月考）若正数x，y满足，当取得最小值时，的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 由，得，所以，化简后利用基本不等式求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出的值 【详解】 解：因为正数x，y满足，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以解得， 所以当时，取得最小值， 所以， 故选：B 10．（2021·惠来县第一中学高三月考）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】 设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】 解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设）， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原