第06讲 异面直线间的距离（课件）-2021-2022学年高二数学课件讲义同步与高考高分突破（沪教版2020）

沪教版（2020） 高中数学 第6讲 异面直线间的距离 第十章 空间直线与平面 *10.5 异面直线间的距离 A B C A1 思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？ 有多少条公垂线？ 已知异面直线AA1和BC， 直线与异面直线AA1，BC都垂直相交。 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 公垂线段 定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 存在性： a b P a’ α Q M β c B A 直线AB就是异面直线a,b的公垂线 唯一性： 假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则 A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，a’//a ， A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α，又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面 矛盾！ A’ B’ 两个定理 定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。 a b A B C D 练习：证明定理二 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离 a a’ b A’ A d E F l m n θ 异面直线间的距离公式 求异面直线的距离的常用方法： （1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。 （2） 转化为求线面间的距离。 a b α a//平面α （3） 转化为求平行平面间的距离。 a b α β a//平面β, b//平面α （2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。 （4）用模型公式 （5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长 a b E F n 例1： 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。 O A B C D E 例2： 正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。 A B C D A1 B1 C1 D1 O P Q 两条异面直线上 任意两点的距离 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为