【优化方案】2013-2014学年高中数学（理科，教A版）选修2-1 配套课件+知能演练：32 立体几何中的向量方法（6份）

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　　　　　　 B．60° C．30° D．60°或30° 解析：选C.由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°. 2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于(　　) A．45° B．30° C．90° D．60° 解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)， ∴＝(1,0,1)． ＝(－1,1,0)， ∴cos〈. 〉＝－， ∴〈〉＝120°. ， ∴AC与BF所成的角为60°. 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 解析： 选A.建立如图坐标系，则D1(0,0，3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)， ∴＝(－2，－2,3)， ＝(－2,2,0)． ∴cos〈＝0. 〉＝， ∴〈〉＝90°，其余弦值为0.， 4．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选A. 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P＝(2a,0,0)， ，则 ，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.，∴〈＝＝，n〉＝＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈，＝ 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选B. 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)． ∴＝(－2,0,1)． ＝(0,0,2)，＝(－2，－2,0)， 设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． ∵n⊥， ，n⊥ ∴∴ 令y＝1，则n＝(－1,1,0)． ∴cos〈n，. 〉|＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，＝〉＝ 6．已知平面α的一个法向量为n＝(1,1,1)，原点O(0,0,0)在平面α内，则点P(4,5,3)到α的距离为________． 解析：. ＝4＝＝＝(4,5,3)，点P到平面α的距离为 答案：4 7．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 解析：设u＝(1,0，－1)，v＝(0，－1,1)， 则cos θ＝±|cos〈u，v〉|＝±|. |＝± ∴θ＝.或 答案：或 8．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE所成角的余弦值为________． 解析： 如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E， ＝＝(a，a，－a)，， ∴cos〈.＝〉＝， 答案： 9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值． 解： 设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)， 则＝(－1,0,2)， ＝(1，－1,2)， ∴|. |＝，||＝ ＝－1＋0＋4＝3. · 又〉 ，|cos〈||＝|· ＝， 〉＝，〉，∴cos〈，cos〈 ∴所求角的余弦值为. 10. 如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小． 解： 如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1， 则＝(0,0,1)，连接BD、B′D′. ＝(1,0,0)， 在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H. 设〉＝60°， ，＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈 又由，1)． ，＝(.所以，解得m＝〉，可得2m＝，|cos〈||＝|· (1)因为cos〈， ＝〉＝， 所以〈〉＝45°，即DP与CC′