专题04 圆锥曲线与方程（知识梳理）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-1）

专题04 圆锥曲线与方程（知识梳理） 一、曲线和方程的定义 1、一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 2、“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可。 (1)“曲线上的点的坐标都是方程 的解”，即纯粹性。 (2)“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性。 这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则。 二、两曲线的交点 1、由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点。 直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于 的一元二次方程的判别式 分别满足 、 、 。 2、两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题。 特别提醒：从近几年高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质。轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相交汇，着重考查分析问题解决问题的能力，对逻辑思维能力，运算能力也有很高的要求。 三、求轨迹方程的常用方法 1、直接法：直接利用条件建立 、 之间的关系 ，一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对 表示曲线上任意一点 的坐标； (2)写出适合条件 的点 的集合 ； (3)用坐标表示条件 ，列出方程 ； (4)化方程 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 2、待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程—先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 3、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。 4、代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 、 的代数式表示 、 ，再将 、 代入已知曲线得要求的轨迹方程。 5、参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 、 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 四、椭圆的基本定义和方程 1、椭圆的定义：设 、 是定点， 为动点，则满足 ( 为定值且 )的动点 的轨迹称为椭圆，符号表示： ( )。 注意：当 时为线段 ，当 时无轨迹。 2、椭圆的方程及图像性质 定义方程 标准方程 ( ) ( ) 一般方程 ( ， ， ) 推导方程 ( ) ( ) 范围 ， ， 图形 焦点坐标 焦点在 轴上 ， 焦点在 轴上 ， 对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心) 顶点 、 、 、 、 、 、 轴 长轴 的长为： ( 为长半轴) 短轴 的长为： ( 为短半轴) 离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率 ， ， 越大越扁， 越小越圆 焦距： (1)椭圆的标准方程的判定方法： ①判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在 轴上，反之，焦点在 轴上。 ②通过 、 、 三个量之间的关系( ， ，且 )求出未知量。 (2)点 在椭圆的的内外部的判断方法： ① EMBED Equation.3 点 在椭圆内；② EMBED Equation.3 点 在椭圆上；③ EMBED Equation.3 点 在椭圆外。 (3)焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 焦半径公式： 为椭圆上任一点， ， ； ， ； 对于椭圆 ( )，设 为椭圆上一点，则： 左焦半径 ，∴ ，∴ ， 右焦半径 ，∴ ，∴ ， 综上： ， ，即 。 (4)椭圆的一般方程： 方程 ( 、 、 均不为零)可化为： ，即 ， 则只有 、 、 同号，且 时，方程表示椭圆， 当 时，椭圆的焦点在 轴上，当 时，椭圆的焦点在 轴上。 3、椭圆 ( )的图像中线段的几何特征(如图)： (1) ， ， ； (2) ， ， ； (3) ， 。 五、椭圆中的焦点三角形 若 、 是椭圆 ( )的两个焦点， 为椭圆上一动点，则 称为椭圆的焦点三角形，其周长为 。 1、相关性质： (1)当点 从 点逆时针运动时